Задумалась я тут о том, как же с помощью волшебной палочки можно двигать предметы. Не каждый предмет и не каждому магу под силу сдвинуть с места. Понятно, что чем легче предмет, тем проще его поднять в воздух. Можно вспомнить классический пример из мира Гарри Поттера, как ученики изучали заклинание "Вингардиум Левиоса", пытаясь поднять пёрышко. Там и взмах руки определённый, и правильное произношение заклинания, непременно, нужно.
Однако, как же действует механизм палочки? Палочка, насколько мы помним, является продолжением руки мага, и именно через неё течёт и вырывается наружу в направлении к нужному предмету магическая энергия, которая и должна, например, в рассматриваемом случае поднять предмет. Как эта энергия действует на предмет? Обволакивает его целиком и поднимает? Или как-то по-другому?
Есть такое понятие для любого предмета как центр масс. Это точка, которая характеризует движение тела как целого. То есть при движении тела можно рассматривать только движение его центра масс, для которого выполняютя все законы физики движения. И сразу возникает мысль. Тогда и действие палочки должно быть направлено исключительно на этот центр масс, ну или на небольшую область, эту точку окружающую?
Так ведь понадобится значительно меньше усилий по передвижению тела.
Это исключительно мои мысли, и хотелось бы услышать и ваши. Возможно я в чём-то ошибаюсь или чего-то не учитываю.
А на этом уроке мы займёмся как раз нахождением центра масс для криволинейных трапеций. Обратите внимание: пока не для произвольной кривой фигуры, а именно для криволинейной трапеции.
В общем-то, заклинания для нахождения этой точки не очень-то и сложные
S - площадь криволинейной трапеции, которую мы уже научились находить.
Чтобы было понятнее, рассмотрим примеры криволинейных трапеций из предыдущей лекции.
Пример 1. Найти центр масс фигуры, ограниченной одной волной косинуса
Площадь этой фигуры мы уже посчитали, она равна 2. Теперь, применяя заклинательные формулы, указанные выше, высчитаем координаты центра масс.
Видно, что центр масс для этой симметричной фигуры находится на оси ОУ на высоте около 0,4.
Пример 2. А теперь посмотрим криволинейную фигуру, состоящую из двух криволинейных трапеций.
В этом случае надо высчитать центры масс для каждой трапеции.
Мы получили два центра масс. Теперь надо найти центр масс полученных двух точек, в которых сосредоточены массы наших криволинейных трапеций (в нашем случае это площади, потому что фигура плоская). В точке С1 сосредоточена вся площадь левой криволинейной трапеции, в точке С2 - площадь правой криволинейной трапеции (которая представляет собой прямоугольный равнобедренный треугольник).
Вообще, формула для массы тела такая: m=ρ*V, то есть для объёмной фигуры постоянной толщины надо ещё вычислить объём (площадь умножить на толщину), а потом, используя плотность материала, посчитать массу.
Но мы пока рассматриваем плоские тела.
Соединяем две точки. Это материальные точки - как раз те, в которых сосредочена вся масса данного тела. Искомый центр масс ищется по правилу архимедова рычага: произведение массы материальной точки на расстояние от неё до центра масс одинаково для обеих точек, т.е. m1*d1=m2*d2, где m1 и m2 – массы материальных точек, а d1, d2 – соответствующие плечи.
Сначала надо найти длину отрезка, который соединяет наши точки. Так как точки имеют точные координаты, то длина отрезка ищется просто по формуле
Получилось, что центр масс нашей фигуры находится на расстоянии 0,348 от точки С1, и это будет в области правой трапеции.
Вычислим, какая это часть от всего отрезка С1С2:
k=0,348/0,58=0,6
Для полной картины нужно определить координаты этого конечного центра масс - точки С. Для этого сначала нужно найти вектор С1С2, чтобы знать, в каком направлении будут сдвигаться координаты точки С1.
А теперь вычисляем координаты точки С
А вообще, для твёрдых тел центр масс и центр тяжести совпадают, ну или находятся очень близко друг к другу. А центр тяжести - это такая точка тела, что если в этой точке поставить опору к телу, то оно будет находиться в равновесии.
На этом мы закончим сегодняшний урок, и вот домашнее задание.
1. Поразмышляйте, где маги смогут применять знания этого урока.
2. Как вы думаете, а как можно найти центр масс фигуры, состоящей из трёх криволинейных трапеций (фигура как сумма трёх криволинейных трапеций)?
3. Ну и, конечно же, надо потренироваться. Возьмите из домашнего задания предыдущего урока любые три примера криволинейных трапеций (удовлетворяющие условиям нашего урока) или придумайте свои с несложными функциями (сложные ни к чему), и найдите центры масс этих фигур.
Один пример - с одной криволинейной трапецией;
второй: фигура как сумма двух криволинейных трапеций;
третий: фигура как сумма трёх криволинейных трапеций.
Удачи!
Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной
Карта сайта (с) Чжоули
Последние изменения:
17.11.2015
