ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ. ЧАСТЬ 2

Здравствуйте, уважаемые студенты вуза Аргемоны!

Ну вот мы и подошли к последней лекции третьего модуля. Сегодня мы рассмотрим ещё несколько замечательных кривых и совершенно другой вид их алгебраического представления - в полярных координатах.

Вот полярная сетка



В общем-то видно, что полярная сетка очень хорошо накладывается на декартовую систему координат.

Вообще, полярная система координат задаётся лишь одним лучом, который называется нулевым или полярной осью.

Каждая точка на плоскости характеризуется радиусом и углом, или, правильнее говорить, полярным радиусом и полярным углом.

Полярный радиус - это расстояние от точки до начала координат. Обозначается через ρ.
Полярный угол - это угол, на который надо повернуть полярную ось, чтобы попасть в эту точку. Обозначается через φ.



Вот, например, полярные координаты точек (клеточка принимается за 1)

D(5; 0)
A(2√(2); π/4)
B(4; π/2)
c(3; π)

Ясно, что полярный угол может отличаться на 2π (кратно 2π) в любую сторону, то есть координаты точки D могут быть и такими:

D(5; 2π)
D(5; -2π)
D(5; 6π)
D(5; -30π)

Положительный полярный угол откладывается от полярной оси по часовой стрелке, отрицательный - против.

Уже вижу ваши огромные глаза, но не волнуйтесь: полярная система координат, на самом деле, достаточно проста и удобна в использовании. Рассмотрим примеры.

Вы все помните уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R:

x²+y²=R²

Преобразуем его в полярный вид. Формулы перевода такие:

x=ρ(φ)*cosφ
y=ρ(φ)*sinφ

Подставляем их в уравнение окружности:

(ρ(φ)*cosφ)²+(ρ(φ)*sinφ)²=R²
ρ²(φ)*cos²φ+ρ²(φ)*sin²φ=R²
ρ²(φ)*(cos²φ+sin²φ)=R²
ρ²(φ)=R²
ρ(φ)=R

Видим, что уравнение такой окружности от угла φ не зависит. То есть это все точки плоскости, которые находятся на расстоянии R от центра с произвольным полярным углом.



Такое уравнение очень простое и его использование в заклинании "Интеграл" тоже очень просто. Но само заклинание видоизменяется, и вычисление площади фигуры для случая полярных координат имеет вид:



Посчитаем площадь нашей окружности



Заклинание для вычисления центра масс таких фигур (в полярных координатах) имеет вид:



Ну, а теперь расссмотрим замечательные кривые, которые имеют приятный вид именно в полярных координатах.

Первой будет КАРДИОИДА



Эту линию описывает фиксированная точка окружности, катящейся по неподвижной окружности такого же радиуса. Своё название линия получила из-за схожести со стилизованным изображением сердца (по-гречески кардио - сердце).

Уравнение этой линии в прямоугольных координатах следующее:

(x²+y²)²-2ax(x²+y²)-a²y²=0,

где а - радиус окружностей.

Впечатляет, правда? Нет даже в мыслях попытки выразить y через x, потому что это гиблое дело. А вот зато уравнение в полярных координатах очень даже простое

ρ(φ)=2a(1-cosφ)

Это один из видов уравнения. Оно может немного изменяться, будет меняться и местоположение кардиоиды, но вид её останется одним и тем же



Есть и параметрическая запись кардиоиды

x=2a*cost(1+cost)
y=2a*sint(1+cost),

но запись в полярных координатах, несомненно, проще и нагляднее.

Сейчас я покажу, как получаются точки кардиоиды (возьму вид ρ(φ)=1+cosφ) и вообще любой кривой, заданной полярными координатами:

I - φ=0; ρ=1+cos0=2
II - φ=&pi/6; ρ=1+cos(&pi/6)=1+√(3)/2=1,87
III - φ=&pi/4; ρ=1+cos(&pi/4)=1+√(2)/2=1,7
IV - φ=&pi/3; ρ=1+cos(&pi/3)=1+1/2=1,5
V - φ=&pi/2; ρ=1+cos(&pi/2)=1
VI - φ=2&pi/3; ρ=1+cos(2&pi/3)=1-1/2=0,5
VII - φ=3&pi/4; ρ=1+cos(3&pi/4)=1-√(2)/2=0,3
VIII - φ=5&pi/6; ρ=1+cos(5&pi/6)=1-√(3)/2=0,13
IX - φ=π ρ=1+cos(&pi)=1-1=0



Соединим все точки и получим половину кардиоиды. Вторая половина, как можно легко установить, будет симметрична первой относительно горизонтальной прямой.

Следующая замечательная кривая - ПОЛЯРНАЯ РОЗА



Задаётся роза формулой

ρ(φ)=asin(k*φ)

Как видно, константой а можно регулировать длину лепестков, а константой k - их количество.
Для нашего рисунка k=5.
Первый лепесток получается, когда φ пробегает интервал от 0 до π/5.
Второй - от 2π/5 до 3π/5.
третий - от 4π/5 до π.
Четвёртый - от 6π/5 до 7π/5.
И пятый - от 8π/5 до 9π/5.

В интервалах [π/5; 2π/5], [3π/5; 4π/5], [π; 6π/5], [7π/5; 8π/5], [9π/5; 2π] лепестков нет, потому что на этих интервалах получается отрицательное значение для радиуса (из-за отрицательного значения синуса), а он отрицательным быть не может.

Рассмотрим первый лепесток:

φ=0; ρ=0
φ=π/10; ρ=a*sin(π/2)=a - это будет максимальное значение на этом интервале
φ=π/5; ρ=0

Остальные лепестки получаются также, только уже на своих интервалах для φ.



А теперь домашнее задание.

1. Используя уравнение кардиоиды в декартовых координатах и формулы перевода декартовых координат в полярные, выведите уравнение кардиоиды в полярных координатах.

2. Постройте кривую, заданную вот таким уравнением в полярных координатах: ρ(φ)=a*√(cos (2φ)). Это лемниската Бернулли. Значение для а можно брать любым, удобным для вас.

3. Постройте полярную розу - трилистник.

4. Для кардиоиды рассчитайте координаты центра масс. А для одной замкнутой части лемнискаты Бернулли и одного лепестка трилистника - их площадь. Как вы думаете, где у этих фигур будет находиться приблизительно центр масс?

5. Смогут ли маги найти применение этим кривым, фигурам? Если да, то где?

Удачи!

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной