ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ. ЧАСТЬ 1

Здравствуйте, уважаемые студенты вуза Аргемоны!

Не могу я не познакомить вас с замечательными кривыми, которые, думаю, точно понадобятся магам: уж больно вид у них красивый, не могут маги пройти мимо таких вещей.

Сразу скажу, что в декартовых координатах вид этих кривых, мягко говоря, шокирует. Однако придуман способ, с помощью которого эти уравнения можно свести к уравнениям попроще, которые можно использовать при расчёте площадей трапеций и центров масс. Это параметрический вид кривых.
Мы на уроке только рассмотрим такие кривых, принимая как данное их параметрический вид. На примерах я заодно и объясню, что такое - параметрическое задание кривой.

И первая кривая, c которой мы познакомимся, - это АСТРОИДА



Это кривая, которую описывает точка окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R=4r. Её запись в прямоугольных (декартовых) координатах ху вот такая:



Согласитесь, что выразить отсюда у то можно, но выражение получится, мягко говоря, тяжеловатым для дальнейшего использования в заклинаниях "Интеграл".
Смысл составления параметрического уравнения кривой состоит в следующем: вводится параметр t и находятся зависимости переменных x и y от этого параметра. При подставлении этих зависимостей в уравнение кривой в декартовых координатах получается верное тождество.
Для астроиды зависимости следующие:

x(t)=r*cos³t
y(t)=r*sin³t

Можете подставить эти зависимости в уравнение кривой и проверить тождество.

Меняем параметр t, находим пары (x,y) и отмечаем их на декартовой системе координат.

Например, для r=2
t=0; x=2; y=0
t=π/4; x=2*(√(2)/2)³=√(2)/2; y=√(2)/2
t=π/2; x=0; y=2
t=3π/4; x=2*(-√(2)/2)³=-√(2)/2; y=√(2)/2
t=π; x=-2; y=0



А теперь попробуем вычислить площадь этой фигуры в общем виде. Заклинательная формула в этом случае имеет вот такой вид (для вычисления криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой, снизу осью ОХ, по бокам прямыми x=a (получается при t=t₁) и x=b (получается при t=t₂)):



Если фигура замкнутая и точка пробегает по её границе (при изменени t от t₁ до t₂) так, что сама фигура остаётся слева, то заклинательная формула приобретает такой вид:



В случае с нашей астроидой когда параметр t пробегает значения от 0 до 2π, то точка (x,y) обегает по кривой всю область. Но сначала х убывает (когда t пробегает значения от 0 до π), а потом возрастает (когда t пробегает значения от π до 2π). Поэтому площадь мы можем посчитать следующим образом: как две верхних площади (или можно как две нижних), так как фигура симметричная. А можно как четыре четвертинки. Или воспользоваться последней формулой.
Вот расчёт по верхней части:



А сейчас попробуем воспользоваться общей формулой. Иногда она значительно упрощает вычисления.



Так как фигура симметричная, то и без вычислений видно, что центр масс располагается в точке (0; 0). Кстати, вычисления это подтверждают. Для вычисления координат центра масс, надо подставить в данные на прошлом уроке формулы параметрические выражения для x и y (в dx тоже надо подставлять).

Следующая кривая - ЦИКЛОИДА



Фиксируется точка на окружности радиуса r и пускают эту окружность катиться по прямой. Зафиксированная точка как раз и вырисовывает циклоиду.
Уравнение циклоиды в прямоугольных координатах имеет вид



Вид, надо признаться, страшноватый для использования, но есть параметрические зависимости для x и y, что очень радует:

x(t)=r(t-sint)
y(t)=r(1-cost)

Нашла ещё вот такую интересную фигуру. К сожалению, её названия на русском языке не обнаружила. На английском она звучит как Tricuspoid. По виду, треугольник с кривыми сторонами.



Её уравнение в прямоугольных координатах очень страшное:

(x²+y²+12ax+9a²)²=4a(2x+3a)³

Параметрическая запись ещё позволяет за что-то зацепиться

x(t)=a(2cost+cos2t)
y(t)=a(2sint-sin2t)

a - константа, которая может принимать разные значения. На рисунке изображена фигура для а=1.

Думаю, пока хватит. Домашнее задание будет такое:

1. Поразмышляйте, где маги смогут применить такие фигуры.

2. Для одной волны циклоиды высчитайте площадь и центр масс. r полагайте равным 1.

3. Для последней фигуры высчитайте только площадь. Коэффициент a также полагайте равным 1. А для центра масс проведите теоретические выкладки, полагая, что центры масс отдельных трапеций, из которых состоит фигура, уже известны.

Удачи!

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной