Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны! Рада видеть вас в новом семестре. Начинаем второй модуль.
Попробуем взглянуть на функцию с другой точки зрения. В первом модуле мы больше обращали внимание на внешний вид функции и пытались где-то применить это её качество. В частности, курсовая по первому модулю была основана на применении именно этого.
Однако давайте вспомним, что функция - это есть зависимость одной переменной от другой. По сути, функция отображает свою область определения в какое-то множество значений. То есть, функцию можно рассматривать как некий преобразователь, который одну область переводит в другую. В нашем случае области довольно примитивны, это даже не какие-то кусочки трёхмерного пространства и не части плоскости, а лишь множество действительных чисел, иной раз даже не полное, а часть этого множества.
Если плоскость - это двумерный мир, то множество действительных чисел - одномерный мир, самый простой. Но от того, что он простой, представить его не так-то просто. Даже непросто представить плоский мир, настолько мы привыкли к нашему трёхмерному миру.
А задам-ка я сразу первое задание.
Задание 1. Расскажите об одномерном мире. Какой он может быть?
И вот функции, которые мы изучили в первом модуле, как раз являются чем-то навроде преобразователей.
Давайте посмотрим, как разные функции преобразуют одну и ту же область. Возьмём небольшой отрезок [a; b]. Пусть, для определённости, а>1.
Видно, что только прямая у=х преобразовала отрезок один к одному. Функция логарифма превратила наш отрезок в нечто маленькое, как по длине, так и по численной величине начала и конца. Зато показательная функция на своём выходе дала просто громадный отрезок, начало которого больше, чем конец исходного отрезка, а конец даже не уместился на рисунке.
Если исходный отрезок проассоциировать с некой начальной силой, то при помощи функции-преобразователя можно эту силу как уменьшить, так и увеличить. Или же этот отрезок - есть кусочек какой-то области, тогда путём преобразования её тоже можно либо значительно уменьшить, либо увеличить.
Задание 2. Подумайте, где это свойство функции можно использовать в магической практике. А также, может у вас возникли какие-то свои магические ассоциации по поводу функции? Расскажите о них.
Если ассоциаций своих нет - не беда. Продолжим наш урок далее.
Значит, подбирая нужные функции, мы можем на своё усмотрение сделать такую функцию, которая выполнит нужное нам преобразование.
Давайте рассмотрим это на примере. Допустим, нам нужно преобразовать всё множество действительных чисел в точку. Да, всего-навсего в одну единственную точку. Как это можно интерпретировать с магической точки зрения - вы расскажете в домашней работе. Это будет третье задание.
Итак, на выходе мы должны получить одну точку. Значит, нужно построить такую функцию, которая бы была определена в одной точке. К таким функциям относятся те, которые имеют какие-то особенности. Например, корень чётной степени, логарифм. Эти функции определены не на всей области действительных чисел, а лишь на какой-то её части. То есть сами эти функции уже только своей магией отсекают от области действительных чисел какую-то часть. Этим мы и воспользуемся.
Возьмём квадратный корень. Эта функция определена на области неотрицательных чисел, то есть больших или равных нулю. Все остальные числа она своей магией отбросит.
Вспомним теперь квадратичную функцию, вид которой парабола.
y=ax2 + bx + c
Эта функция определена на множестве всех действительных чисел, а вот множеством значений всегда является часть этого множества. Ветви параболы могут устремляться вверх, а могут и вниз. Всё зависит от знака числового коэффициента а. При а>0, ветви параболы стремятся вверх, а при a<0 - вниз.
Рассмотрим подробнее случай, когда a<0. Положение параболы может быть следующим
Парабола может полностью находиться в отрицательной области (то есть множество значений будет состоять только из отрицательных чисел), может иметь одну точку пересечения с осью ОХ (в этом случае множество значений параболы - неположительные числа, т.е. все отрицательные и ноль), может иметь две точки пересечения с осью ОХ (в этом случае в множество значений, кроме всех отрицательных чисел и нуля, попадает небольшой промежуток положительных чисел).
Мы попытаемся смоделировать для функции квадратного корня такую область определения, чтобы она содержала одну точку. Из этих трёх видов параболы нам подходит вторая. Квадратный корень, получив область, состоящую из отрицательных чисел и нуля, сразу же забракует все отрицательные числа, и останется лишь один нуль. Что нам и надо.
А теперь вспомним, что это за квадратичная функция, которая пересекает ось ОХ лишь в одной точке. А это та, у которой дискриминант равен нулю. Или, по-другому, это полный квадрат двучлена вида a(x+d)2.
a(x+d)2 = a*x2 + (2*a*d)*x + a*d2
Обозначим,
b=2*a*d
c=a*d2
и получим привычную нам квадратичную функцию.
Перейдём лучше к конретным функциям.
Возьмём в качестве квадратичной функции следующую:
y = 2*(x-2)2
Это парабола, ветви которой направлены вверх, и она касается оси ОХ лишь в одной точке х=2. Применим магию минуса и обратим параболу в отрицательную область.
y = -2*(x-2)2
y = -2*(x2 - 4x + 4)
y = -2x2 + 8x - 8
Итак, мы получили квадратичную функцию, которая в качестве множества значений даёт только отрицательные числа и ноль. Применим теперь функцию квадратного корня
Функция квадратного корня в качестве области допустимых значений получит как раз множество значений квадратичной функции. Но она ещё проредит эти значения с учётом своей магии и оставит для своей области определения только ноль.
Значит, наша последняя функция будет определена лишь в одной точке и будет принимать лишь одно значение. Сейчас это ноль. Чтобы сделать в качестве выходного значения любое другое, надо просто прибавить константу (то есть применить магию сдвига по вертикали)
Вот, например, мы сдвинули множество значений нашей функции на 10 единиц вверх.
Задание 4. В качестве практики попробуйте преобразовать множество всех действительных чисел в какой-то отрезок. Численные значения концов отрезка можете выбрать на своё усмотрение. То есть смоделируйте такую функцию, которая будет делать это преобразование.
Мы вплотную подошли к понятию сложной функции. Сложная функция - это когда одна функция применяется к другой. Вот как в нашем случае: изначально была квадратичная функция, мы к ней применили квадратный корень. Квадратный корень - это внешняя функция, квадратичная - внутренняя. Вложенность функций может быть и больше. Тут главное в них не запутаться.
Множество значений внутренней функции является областью определения той, которая к ней применяется. Вернее так: оно было бы областью определения, если бы следующая функция не обладала бы никакими особенностями. А так, функция, получив какое-то множество значений для своей области определения, очень придирчиво его разглядит и отбросит те значения, с которыми ну никак не дружит.
Например,
(1)
Самая внутренняя функция - прямая у=2х+1.
Её область определения - все действительные числа. Множество значений - то же.
Далее по вложенности идёт натуральный логарифм. Он, получив от преобразователя в виде прямой в качестве области определения все действительные числа, отсекает отрицательные и ноль. Выдаёт своё множество значений.
Далее это множество значений в качестве области допустимых значений получает функция квадратного корня, которая также корректирует под себя область определения и выдаёт своё множество значений, которое идёт в качестве допустимых значений для функции синуса.
Так как синус принимает все значения, то он ничего не корректирует и выдаёт множество значений, которое находится в интервале от -1 до 1.
Задание 5. Попробуйте определить численно (поэтапно), какую область допустимых значений получит функция синуса, и нарисуйте схематический график функции (1) на этой области определения. В схематическом графике должны быть чётко видны область определения и множество значений. Ну и вид конечной функции тоже должен быть чётко обозначен, то есть синус должен опознаваться по внешнему виду и не должен быть похож на параболу. Схематические рисунки этапов приветствуются (можно в одной системе координат).
Задание 6. Из приведённых ниже функций выберите на своё усмотрение две и проведите их разбор на предмет выяснения, какая же область определения у самой внешней функции.
(1)
