МАГИЯ ПАРАБОЛЫ, СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ИМ ОБРАТНЫХ


Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны! Рада видеть вас на очередной лекции магии функций и интегралов.

Сегодня у нас на повестке дня - изучение, прежде всего, магии параболы. Вот с нее и начнем.

Общий вид параболы (квадратичная функция)

y=ax2 + bx + c      (1)

Коэффициенты b и c могут равняться нулю (одновременно или нет), а вот коэффициент "a" нулю равняться не может, иначе это уже будет не квадратичная функция.

Простейшая функция параболы имеет вид

y=x2     (2)

Парабола

Видим, что особенностей эта функция не имеет. Значит, областью определения является вся числовая прямая (-∞; +∞), а множеством значений - только неотрицательная часть прямой [0; +∞).

А сейчас мы, пользуясь знаниями полученными на предыдущих уроках, попробуем с помощью магии коэффициентов менять магию функции.

Добавление коэффициента "а", отличного от 1, приводит к изменению размаха ветвей параболы. Если |a|>1, то парабола становится уже, а если |a|< 1, то ветви расходятся в стороны и парабола становится шире.

Парабола с разным коэффициентом

Рассмотрим теперь вот такую функцию

y=ax2+c      (3)

Добавление константы "с" в качестве слагаемого к выражению с квадратом приводит к перемещению параболы вверх или вниз на "с" позиций. Соответственно, изменяется множество значений функции.

Парабола с вертикальным переносом
Видно, что c1>0, c2<0.

Ну, а теперь можно догадаться, что добавление слагаемого bx, очевидно, приведёт к перемещению параболы по горизонтали.
Разберем этот момент более подробно. Попробуем выделить в выражении (1) полный квадрат. На самом деле, когда в уравнении присутствуют числовые коэффициенты, всё намного понятнее, поэтому давайте перейдем от буквенных коэффициентов к числовым:

a=2; b=4; c=5
y=2x2+4x+5=2(x+1)2+3

И вот теперь аккуратно начнем разбирать магию этой квадратичной функции. Начнем изнутри.
Видим, что в квадрате не х, а (х+1). Из предыдущих уроков мы помним, что коэффициент-слагаемое рядом с х вызывает магию перемещения функции по горизонтали вправо или влево. В нашем случае на 1 единицу влево.

Парабола с горизонтальным переносом

Далее обращаем внимание на коэффициент 2 около квадрата. Он вызовет магию сжатия параболы. Она станет уже. Если бы этот коэффициент был ещё и отрицательным, то парабола бы повернулась на 180 градусов, и ветви бы стали бы смотреть вниз.
Далее в действие вступает коэффициент 3 и применяет свою магию, вызывая передвижение параболы на 3 единицы вверх.

Парабола с сжатием и вертикальным переносом

Задание 1. Каждый берет свою параболу (1).
Коэффициенты определяются следующим образом:
а=первому числу в номере вашего ЛД
b=второму числу в номере вашего ЛД
c=третьему числу в номере вашего ЛД или a-b, если номер вашего ЛД двузначный.
Надо исследовать эту параболу так же, как делали мы на уроке, отметив и промежутки убывания и возрастания.

Урок ещё не закончен. Пойдем дальше. Положение параболы в координатных осях зависит от коэффициентов a, b, c.
От знака коэффициента а зависит, как направлены ветви параболы:
если а>0, то ветви параболы направлены вверх;
если а<0, то ветви параболы направлены вниз.

Думаю, вы помните, как ищутся корни квадратного уравнения, соответствующего квадратичной функции,

ax2 + bx + c = 0.

Да-да, через вычисление дискриминанта. Корней может быть 2, может быть один (на самом деле корней 2, но они одинаковые), либо не быть корней. Но нет действительных корней, а вот мнимые корни есть, но о таких корнях мы говорить пока не будем, хотя они приоткрывают еще более интересную магию, но о ней позже... намного позже. Если вас заинтересует это, то мы потом вернемся к мнимым корням и магии функции комплексной переменной. А ее магия еще более удивительная, и она может творить такие чудеса, которые многим и не снились. Но пока будем говорить только о действительных корнях квадратного уравнения.

Итак, если корней 2, то это значит, что парабола пересекает ось ОХ в двух точках.

Парабола пересекает ось ОХ в двух точках

Если корень один (вернее, два одинаковых), то это значит, что парабола касается оси ОХ в одной точке.

Парабола касается оси ОХ в одной точке

Если же дискриминант квадратного уравнения, соответствующего квадратичной функции, отрицательный, то вся парабола находится либо выше оси ОХ, либо ниже неё.

Парабола не имеет с осью ОХ общих точек

Ещё раз обращу ваше внимание на то, что областью определения параболы является вся числовая ось, а вот множество значений зависит от положения параболы.

Задание 2. В приведенных мной выше графиках, считая масштаб 1:1, укажите множество значений всех функций 1-6.

И теперь быстренько познакомимся с общим видом степенной функции

y=xn, n-натуральное число      (4)

Ясно, что когда n-четное число, то вид функции похож на (1).
Если n-нечетное число, то график функции перестает быть четным, он становится нечетным и выполняется условие f(-x)=-f(x). Такой вид функции еще называется кубической параболой.
Степенная функция

Задание 3. Найдите область определения и множество значений для функции (4) для разных n (чётных и нечётных).

И, наконец, последнее. Рассмотрим функцию, обратную функции (4). Какая операция обратная возведению в степень? Конечно же, извлечение корня.

Функция арифметического корня    (5)

Здесь тоже необходимо рассмотреть два случая.

1. n-четное. Область определения - неотрицательная полуось [0; +∞), потому что из отрицательного числа нельзя извлечь корень четной степени.
Функция арифметического корня

2. n - нечетное число. График имеет следующий вид
Функция арифметического корня

Задание 4. Укажите для функции (5) области определения и множество значений. Сравните графики функций (4) и (5).

И в конце покажу вам, как строятся графики обратных функций. Графики обратных функций симметричны относительно биссектрисы 1 и 3 координатных углов. Поэтому достаточно провести эту линию и отразить симметрично относительно нее график степенной функции.


Построение обратной функции к степенной с четной степенью      Построение обратной функции к степенной с нечетной степенью

На рисунке я изобразила оба случая степенных функций и обратных к ней. Как мы видим, в случае с n-нечётным всё нормально: обе ветки отразились симметрично биссектрисы, и получилась функция. А вот в случае с n-чётным одна из веточек нарисована пунктиром, потому как она не входит в график функции, потому что получившаяся симметричным отражением кривая функцией не будет.

Задание 5. Покажите, что если включить и пунктирную ветку в график, то это уже будет график не функции.

Удачи!



Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной Персефона




Лучшее предложение в салоне jaguar xj от официального дилера.