МАГИЯ ПАРАБОЛЫ, СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ИМ ОБРАТНЫХ

Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны! Рада видеть вас на очередной лекции магии функций и интегралов.

Сегодня у нас на повестке дня - изучение, прежде всего, магии параболы. Вот с нее и начнем.

Общий вид параболы (квадратичная функция)

y=ax² + bx + c      (1)

Коэффициенты b и c могут равняться нулю (одновременно или нет), а вот коэффициент "a" нулю равняться не может, иначе это уже будет не квадратичная функция.

Простейшая функция параболы имеет вид

y=x²     (2)



Видим, что особенностей эта функция не имеет. Значит, областью определения является вся числовая прямая (-∞; +∞), а множеством значений - только неотрицательная часть прямой [0; +∞).

А сейчас мы, пользуясь знаниями полученными на предыдущих уроках, попробуем с помощью магии коэффициентов менять магию функции.

Добавление коэффициента "а", отличного от 1, приводит к изменению размаха ветвей параболы. Если |a|>1, то парабола становится уже, а если |a|< 1, то ветви расходятся в стороны и парабола становится шире.



Рассмотрим теперь вот такую функцию

y=ax²+c      (3)

Добавление константы "с" в качестве слагаемого к выражению с квадратом приводит к перемещению параболы вверх или вниз на "с" позиций. Соответственно, изменяется множество значений функции.


Видно, что c₁>0, c₂<0.

Ну, а теперь можно догадаться, что добавление слагаемого bx, очевидно, приведёт к перемещению параболы по горизонтали.
Разберем этот момент более подробно. Попробуем выделить в выражении (1) полный квадрат. На самом деле, когда в уравнении присутствуют числовые коэффициенты, всё намного понятнее, поэтому давайте перейдем от буквенных коэффициентов к числовым:

a=2; b=4; c=5
y=2x²+4x+5=2(x+1)²+3

И вот теперь аккуратно начнем разбирать магию этой квадратичной функции. Начнем изнутри.
Видим, что в квадрате не х, а (х+1). Из предыдущих уроков мы помним, что коэффициент-слагаемое рядом с х вызывает магию перемещения функции по горизонтали вправо или влево. В нашем случае на 1 единицу влево.



Далее обращаем внимание на коэффициент 2 около квадрата. Он вызовет магию сжатия параболы. Она станет уже. Если бы этот коэффициент был ещё и отрицательным, то парабола бы повернулась на 180 градусов, и ветви бы стали бы смотреть вниз.
Далее в действие вступает коэффициент 3 и применяет свою магию, вызывая передвижение параболы на 3 единицы вверх.



Задание 1. Каждый берет свою параболу (1).
Коэффициенты определяются следующим образом:
а=первому числу в номере вашего ЛД
b=второму числу в номере вашего ЛД
c=третьему числу в номере вашего ЛД или a-b, если номер вашего ЛД двузначный.
Надо исследовать эту параболу так же, как делали мы на уроке, отметив и промежутки убывания и возрастания.

Урок ещё не закончен. Пойдем дальше. Положение параболы в координатных осях зависит от коэффициентов a, b, c.
От знака коэффициента а зависит, как направлены ветви параболы:
если а>0, то ветви параболы направлены вверх;
если а<0, то ветви параболы направлены вниз.

Думаю, вы помните, как ищутся корни квадратного уравнения, соответствующего квадратичной функции,

ax² + bx + c = 0.

Да-да, через вычисление дискриминанта. Корней может быть 2, может быть один (на самом деле корней 2, но они одинаковые), либо не быть корней. Но нет действительных корней, а вот мнимые корни есть, но о таких корнях мы говорить пока не будем, хотя они приоткрывают еще более интересную магию, но о ней позже... намного позже. Если вас заинтересует это, то мы потом вернемся к мнимым корням и магии функции комплексной переменной. А ее магия еще более удивительная, и она может творить такие чудеса, которые многим и не снились. Но пока будем говорить только о действительных корнях квадратного уравнения.

Итак, если корней 2, то это значит, что парабола пересекает ось ОХ в двух точках.



Если корень один (вернее, два одинаковых), то это значит, что парабола касается оси ОХ в одной точке.



Если же дискриминант квадратного уравнения, соответствующего квадратичной функции, отрицательный, то вся парабола находится либо выше оси ОХ, либо ниже неё.



Ещё раз обращу ваше внимание на то, что областью определения параболы является вся числовая ось, а вот множество значений зависит от положения параболы.

Задание 2. В приведенных мной выше графиках, считая масштаб 1:1, укажите множество значений всех функций 1-6.

И теперь быстренько познакомимся с общим видом степенной функции

y=xⁿ, n-натуральное число      (4)

Ясно, что когда n-четное число, то вид функции похож на (1).
Если n-нечетное число, то график функции перестает быть четным, он становится нечетным и выполняется условие f(-x)=-f(x). Такой вид функции еще называется кубической параболой.


Задание 3. Найдите область определения и множество значений для функции (4) для разных n (чётных и нечётных).

И, наконец, последнее. Рассмотрим функцию, обратную функции (4). Какая операция обратная возведению в степень? Конечно же, извлечение корня.

   (5)

Здесь тоже необходимо рассмотреть два случая.

1. n-четное. Область определения - неотрицательная полуось [0; +∞), потому что из отрицательного числа нельзя извлечь корень четной степени.


2. n - нечетное число. График имеет следующий вид


Задание 4. Укажите для функции (5) области определения и множество значений. Сравните графики функций (4) и (5).

И в конце покажу вам, как строятся графики обратных функций. Графики обратных функций симметричны относительно биссектрисы 1 и 3 координатных углов. Поэтому достаточно провести эту линию и отразить симметрично относительно нее график степенной функции.


     

На рисунке я изобразила оба случая степенных функций и обратных к ней. Как мы видим, в случае с n-нечётным всё нормально: обе ветки отразились симметрично биссектрисы, и получилась функция. А вот в случае с n-чётным одна из веточек нарисована пунктиром, потому как она не входит в график функции, потому что получившаяся симметричным отражением кривая функцией не будет.

Задание 5. Покажите, что если включить и пунктирную ветку в график, то это уже будет график не функции.

Удачи!

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной