Ну вот мы и добрались до последнего урока именно по функциям. Сегодня мы с вами научимся распознавать любую функцию, в каком бы виде она ни предстала перед нами. Как вы думаете, где это магам может понадобится? Пусть этот вопрос будет первым вопросом домашнего задания.
Объяснение материала я буду проводить на конкретном примере. Рассмотрим вот эту функцию, которая имеет очень красивое название - серпантин Ньютона.
Попробуем разгадать, какой же он, этот серпантин Ньютона.
1. Сначала для любой функции ищется область определения, то есть то множество действительных чисел, на котором функция существует. Для нашего случая видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел, потому что знаменатель хоть и есть, но он никогда не обращается в ноль.
2. Если функция имеет особые точки (например, нули знаменателя), то отмечается, что это у нас вертикальные ассимптоты. То есть функция тут разрывается. Около каждой такой ассимптоты, справа и слева от неё, изучается поведение функции, как мы это делали при рассмотрении гиперболы.
Наша функция непрерывна, то есть точек разрыва не имеет.
Существуют ещё наклонные ассимптоты, которые ищутся определённым образом. Я сейчас расскажу об этом, но, возможно, вам это при выполнении задания не пригодится.
Любая ассимптота - это прямая. Наклонная ассимптота имеет вид:
у=kx+b
Коэффициенты k и b определяются следующим образом. Изучается поведение выражений y/x и (у-х) на бесконечности. Если они стремятся к каким-то конечным числам, то наклонная ассимптота существует. Первое число даст коэффициент k, второе - b.
Рассмотрим для нашего случая:
Видно, что первое выражение на бесконечности стремится к 0, а вот второе выражение стремится к бесконечности. Значит, k=0, b - не существует. Значит, наклонной ассимптоты нет, но получившуюся прямую y=0 мы запомним, а потом выясним, что это за прямая.
3. Следующим шагом обычно идёт прикидка насчёт множества значений. Так как никаких особых точек области определения мы не выявили, то исследуем поведение функции около нуля и в бесконечности.
Если х->+∞, то у->0+ (стремится к нулю, оставаясь положительным).
Если х->-∞, то у->0- (стремится к нулю, оставаясь отрицательным).
Значит, прямая y=0 (ось ОХ) является горизонтальной ассимптотой.
Определить множество значений нам не удалось. Сделаем это позже.
4. Найдём нули функции - это те точки, в которых значение функции равно нулю. В нашем случае это одна точка х=0.
5. Так как y(-x)=-y(x), то наша функция нечётная, то есть симметричная относительно начала координат.
Периодической она не является.
6. Теперь поищем точки экстремума. Они бывают двух видов: точки максимума и точки минимума. Иногда они совпадают с глобальным максимумом/минимумом, а иногда остаются локальными, то есть показывают максимальное или минимальное значение функции в небольшой окрестности.
Вот, например, рисунок графика с тремя точками локального экстремума. В точках х1 и х3 минимум, а в точке х2 - максимум. Глобальный максимум функции +∞, а глобальный минимум достигается в точке х3.
Такие точки экстремума ищутся по определённой методике, а помогает в этом производная. В прошлой лекции мы определили (вернее, вы определили в домашнем задании), что в точках экстремума первая производная функции равна нулю.
Поэтому находим первую производную нашей функции.
Далее приравниваем её к нулю. Так как у нас дробь, то она равна нулю, когда числитель равен нулю.
2-2х2=0
х2=1
x=±1
Далее обычно чертят табличку, но можно обойтись и просто числовой прямой, на которой обозначают найденные точки и определяют знак производной на каждом интервале, на которые эти точки делят всю числовую прямую.
Если производная отрицательна, то функция на этом интервале убывает, если положительна - то возрастает. В точках экстремума производная равна нулю.
Если функция сначала убывала до точки экстремума, а потом стала возрастать, то значит это точка минимума.
И наоборот. Если функция возрастала до точки экстремума, а потом начала убывать, то это точка максимума.
7. Далее ищутся точки перегиба. В предыдущей лекции мы рассматривали касательную к графику функции. Она обычно находится по одну сторону от графика функции в данной точке, но в точках перегиба касательная располагается по обе стороны от линии функции.
Функция может быть выпукла вверх, а может быть выпукла вниз. Та точка, где происходит вот это изменение выпуклости, и называется точкой перегиба.
Ищутся эти точки следующим образом. Надо посчитать вторую производную от функции.
Точки перегиба - это нули второй производной, поэтому приравняем её к нулю.
Как и в случае с первой производной, ищем знак второй производной на получившихся интервалах и определяем характер выпусклости на них. Если производная отрицательна, то функция выпукла вверх, если положительна - то вниз.
Ну вот теперь можно нарисовать схематично нашу функцию, учитывая всё, что мы наисследовали тут. Во всех точках экстремума и перегиба надо подсчитать значения функции:
Найдём одну касательную к функции, в точке х=0. y'(0)=2.
Уравнение касательной в точке х=0: у=2x.
И вот теперь мы можем сказать, что множество значений нашей функции - интервал [-1; 1]. Точки локального максимума и минимума являются и точками глобального максимума и минимума. Ассимптота: y=0.
Ну а теперь оставшееся домашнее задание (не забудьте про вопрос в начале лекции). Конечно же, надо будет раскрыть маску какой-нибудь функции. Да не одной, а двух. Сложные функции брать не будем. Достаточно рассмотреть функции, которые составляются из рассмотренных нами простейших функций. Я тут обнаружила, что одна из комбинаций простейших функций называется ещё интереснее - трезубец Ньютона (под номером 2).
Предлагаю вам выбрать для исследования любые две функции из списка:
Но если вы хотите предложить какую-то свою функцию для исследования, то скажите об этом в КЦ. Обсудим вместе. Там же в КЦ можно задать все интересующие вас вопросы.
Удачи!
Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной
Карта сайта (с) Чжоули
Последние изменения:
17.11.2015
