ВСЁ КРИВОЕ НИПОЧЁМ!

Здравствуйте, уважаемые студенты вуза Аргемоны!

С заклинанием «Интеграл!» вы уже познакомились, научились с ним обращаться, а дальше мы будем рассматривать случаи, где это заклинание с пользой для магов можно применить. И первым делом мы рассмотрим, как легко можно считать площади кривых фигур.

В вводной лекции я уже давала понятие криволинейной трапеции



Итак, это трапеция, где верхняя часть — положительная функция (то есть функция, которая принимает положительные значения, — это важно), нижняя граница — ось ОХ, боковые стороны — прямые x = a и x = b.
Тогда площадь такой фигуры высчитывается путём применения следующего несложного заклинания:



Однако не надо думать, что можно считать площадь вот только такого вида фигур. Сейчас мы на примерах рассмотрим, как это делается.

Пример 1.

Найти площадь фигуры, ограниченной одной волной косинуса.



Конечно, площадь этой фигуры равна площади фигуры, ограниченной одной волной синусоиды, но я специально взяла косинус (чётную функцию), чтобы показать кое-какие особенности. Видно, что заштрихованная фигура состоит из двух симметричных частей: для одной a = - π/2, b = 0; для второй a = 0, b = π/2. Если рассматривать фигуру целиком, то для неё a = - π/2, b = π/2. Поэтому площадь можно считать двумя способами.



Пример 2. Однако можно вычислять площадь и достаточно сложных фигур, ограниченных с разных сторон кривыми. Например, найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = sinx
y = x²/4
0 ≤ x ≤ π/2



Видно, что площадь нужной нам фигуры будет как разность площади криволинейной трапеции, ограниченной синусом, и криволинейной трапеции, ограниченной параболой



Всегда надо контролировать себя в конце, когда получается ответ. Площадь — величина положительная, поэтому если вы получили отрицательное число, то заклинание применили неверно.

Пример 3.

А теперь посложнее. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми:

y = x² + 1
y = x²
x + y - 2 = 0
x = 0

Видно, что x + y - 2 = 0 — это прямая. Приведём её в привычный нам вид:
y = 2 - x



Надо найти точки пересечения прямой с параболами, чтобы определить границы трапеций. Для этого приравниваем правые части.

x² = 2 - х
x² + х - 2 = 0
D = 1 - 4*(-2) = 9
x = (-1±3)/2
x = -2; 1

x² + 1 = 2 - х
x² + x - 1 = 0
D = 1 - 4*(-1) = 5
x = (-1 ± √(5))/2
x = (-1 - √(5))/2; (-1 + √(5))/2

Из четырёх получившихся точек выбираем нужные две. Это 1 и (-1 + √(5))/2.

В этом случае нужная нам фигура получается как сумма двух криволинейных трапеций за минусом третьей.



Дальше идёт дело техники вычислений. Не буду доводить тут вычисления до конца. Главное здесь было разобраться, из чего собирается площадь нужной нам фигуры.

Думаю, на этом мы пока остановимся и потренируемся в нахождении площади самых различных кривых фигур.

Домашнее задание.

1. Подумайте, где магам может понадобиться нахождение таких площадей.

2. Из предложенного ниже списка выберите 4 на своё усмотрение и найдите площади фигур, ограниченных следующими линиями:

1) y = - x² + 2x + 3; y = x + 1
2) y = x² + 1; x = y² + 1; y = 0; 0 ≤ x ≤ 2
3) y = x² + 2; xy = 3; y = 1; x = 0
4) y = x²; y = x²/2; y = 2x
5) y = 1/(1 + x²); y = x²
6) y = e^x; y = e^-x; x = 1
7) y = 1/x²; y = 0; x = 1 (x > 1)
8) y = |x| + 2; y = 2|x|; y = 1
9) y = x² - 2; y = |x|; y = -|x|
10) Найти площади замкнутых фигур, которые образуются при пересечении частей параболы y = x|x-2| и прямой y = x.

Удачи!

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной