ЗАКЛИНАНИЕ «ИНТЕГРАЛ!»

Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны!

Мы с вами закончили подкурс, посвящённый непосредственно функциям, а теперь переходим к интегралам. И оставшиеся два модуля будут посвящены именно им.
Для начала нам, конечно, необходимо будет ознакомиться с самим заклинанием «Интеграл». Постараюсь вам рассказать про него как можно проще. Мы не будем вдаваться глубоко в механизм действия этого заклинания. Нам достаточно научиться им пользоваться в не самых сложных случаях.



Это заклинание по действию обратно заклинанию «Производная», однако есть небольшие ньюансы. При действии заклинания «Интеграл» получается не одна функция, а целое семейство (они ещё называются первообразными), которые отличаются друг от друга лишь наличием константы, обеспечивающей параллельный перенос функции по вертикали.



Если мы применим ко всему семейству таких функций F(x)+C (где C=const) заклинание «Производная», то результатом будет функция f(x), потому что производная от константы равна 0 (C'=0).

(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x)

Давайте рассмотрим более пристально заклинание «Интеграл». Оно состоит из трёх частей:
— значка интеграла (∫),
— подынтегральной функции (f(x))
— и так называемого дифференциала dx, который нам будет очень хорошо помогать при выполнении заклинания.

Действие дифференциала чем-то похоже на действие заклинание «Производная», потому что

d(g(x)) = g'(x) * dx

Например, если у нас есть d(x²).
Тогда соответственно предыдущей формуле получаем:
d(x²) = (x²)' * dx = 2x*dx = 2xdx (обычно знак умножения опускают)

Ну и, соответственно, чтобы занести какую-то функцию под дифференциал, надо вычислить её первоообразную

g(x)*dx = d(G(x)), где G(x) — одна из первоообразных функции g(x).

Понятно, что dx = d(x+2) = d(x-7), то есть добавлять константу в качестве слагаемого под дифференциал (если это нужно) можно безболезненно.

d(k*f(x)) = k*d(f(x)), где k = const, то есть из-под дифференциала можно выносить множитель-константу. Или заносить, если это надо.

Не пугайтесь, если на данный момент вы смутно поняли объяснение. Дальше мы разберём всё подробнее, а пока представляю вам табличку интегралов основных элементарных функций (ТИОЭФ)



и основные правила вычисления интегралов (ОПВИ)



А теперь давайте на примерах изучим, как пользоваться этим заклинанием.



Видно, что интеграл подходит под формулу 6 ТИОЭФ, но, к сожалению, степень двойки и то, что под дифференциалом, не совпадает, а совпадать должно в обязательном порядке. Только тогда заклинание придёт в действие. Значит, нам сейчас надо сделать некие преобразования, чтобы достичь такого равновесия.

1-й способ. Пригоден для более опытных в таких преобразованиях магов.
Ставим под дифференциал 3х-1, но чтобы уравновесить всю конструкцию, нам надо всё поделить на 3

2^(3x-1)*(1/3)*d(3x-1)

Если мы выполним заклинание «дифференциал», то получим наше исходное выражение

2^(3x-1)*(1/3)*d(3x-1)=2^(3x-1)*(1/3)*(3х-1)'*dx=2^(3x-1)*dx

Значит, преобразование сделано верно.

На первых порах, когда сразу не видно, как преобразовать правильно выражение, можно поступать следующим образом:
— нам нужен вот такой дифференциал d(3x-1).
— вычислим его по правилу дифференциала:
d(3x-1) = (3x-1)' * dx
d(3x-1) = 3 * dx
Выразим отсюда dx:
dx = 1/3 * d(3x-1)
Вместо dx в наш интеграл подставим 1/3 * d(3x-1).


2-й способ.

Если не видно сразу, на что надо поделить или умножить, то просто делаем замену переменных. Вместо х введём другую переменную

t = 3x - 1

Выражаем х

х = (t+1)/3

Считаем дифференциал

dx = d((t+1)/3)
dx = ((t+1)/3)'*dt
dx = (1/3)*dt

Подставляем всё, применяем 1-е правило ОПВИ и получаем табличный интеграл. Вычислив его, необходимо сделать обратную замену



Замену полезно делать, чтобы избавиться от сложных выражений. Например, вот тут



В 7-ю степень возводить очень хлопотливо (чтобы всё привести к многочлену), поэтому делаем вот такую замену

t = 5x - 2
x = (t+2)/5
dx = (1/5)*dt

Таким образом, степень 7 оказалась около простой переменной.



Константа С равна (1/25)*(C₁+C₂)

Очень интересный метод интегрирования по частям. И применяется часто. Он основан на формуле-заклинании



Видно, что под дифференциалом находится не х, как это бывает изначально, а какая-то функция (хотя в некоторых случаях и х может выступать в качестве функции). То есть мы часть подынтегральной функции забираем под дифференциал, а часть оставляем. В результате применения заклинания интегрирования по частям выражение под интегралом значительно упрощается.
Для примера рассмотрим вот такой интеграл



Видим, что e^x*dx = d(e^x). Поэтому загоняем функцию e^x под дифференциал и применяем заклинание интегрирования по частям. Степень икса понижается. То же самое делаем ещё раз, пока степень икса не понизится до 1



Применяется этот метод и когда есть не e^x, а какая-либо тригонометрическая функция совместно со степенным выражением.

Иногда в результате применения такого заклинания мы возвращаемся вроде как к началу, но с некоторым довеском. Например,



При работе с тригонометрическими функциями полезно применять небольшие заклинания, позволяющие понизить степень:



А также не забывать об основном тригонометрическом тождестве, которое позволяет при необходимости выразить одну функцию через другую



Ну, думаю, нам этих сведений вполне хватит для того, чтобы применять заклинание «Интеграл» к несложным функциям.

А теперь домашнее задание.
Выберите, на свой вкус, 10 функций из предложенных и примените к ним заклинание «Интеграл».



Удачи!

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной