МАГИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ

Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны! И опять мы с вами встречаемся на очередной лекции магии функций и интегралов. Это очень радует. Значит, предмет интересен не только мне, но и вам.

Сегодня мы познакомимся с двумя очень интересными и не очень сложными функциями.
В прошлый раз мы рассматривали степенную функцию y=xⁿ, n-натуральное число, а сейчас познакомимся с показательной функцией

y=a^x, a>0, a≠1,      (1)

На первый взгляд функции (в записи) кажутся похожими, но путать их нельзя. График показательной функции такой



Как видим, у показательных функций (для разных а) есть "любимая точка", через которую они все проходят. Это точка (0; 1).
Если a>1, то функция возрастающая, а если a<1, то убывающая.
Функции, например, для а=2 и a=1/2 (т.е. для взаимно обратных чисел, произведение которых равно 1: 2*(1/2)=1) симметричны относительно оси OY.
Функции приближаются к оси ОХ, но не пересекают ее. Значит, ось ОХ для функции (1) является ассимптотой.

Ну что, попробуем поиграть магией чисел и посмотреть, как поведет себя функция? Мы знаем пока два магических воздействия на любую функцию: горизонтальный перенос и вертикальный.
Для того, чтобы функцию передвигать по горизонтали, надо добавить константу-слагаемое к х.

y=a^x+b, a>0, a≠1,      (2)

Повинуясь нашему магическому воздействию, график послушно переместится вправо на b единиц (если b<0) или влево (если b>0).



На приведённых графиках b₁<0, b₂>0.
Соответственно передвинется линия (ось OY), на которой располагается "любимая" точка. Теперь это будет прямая x=-b, а "любимая" точка будет иметь координаты (-b; 1).

А теперь подвинем функцию вверх-вниз. Для этого надо добавить константу-слагаемое ко всему показательному выражению

y=a^x+b+с, a>0, a≠1,      (3)

Вместе с графиком двигается и ассимптота на с позиций вверх или вниз и приобретает вид y=c (вместо оси OX).



Задание 1. Почему в условии показательной функции есть такое ограничение: a≠1? Для графиков 1-4 на рисунках укажите область определения и множество значений.

А теперь рассмотрим логарифмическую функцию.

y=log_ax.      (4)

Если кто забыл, что такое логарифм, то напомню: логарифмом от числа х по основанию а (log_ax) называется такое число y, что выполняется тождество:
a^y=x.
Как видите, от логарифма мы перешли к показательной функции.

Логарифмическая функция - обратная к показательной. Помните, что графики обратных функций симметричны относительно биссектрисы 1 и 3 координатных углов? Давайте этим воспользуемся и построим график логарифмической функции отдельно для а>1 и 0<а<1.

Точка (0; 1) перейдёт в симметричную ей точку (1; 0). Остальные точки функции ищутся аналогично: строится перпендикуляр к оси симметрии, и по другую сторону откладывается то же расстояние.

       

Задание 2. Попробуйте сами исследовать логарифмическую функцию y=log_ax для обоих случаев, то есть укажите область определения, множество значений, возрастание/убывание, ассимптоты.

Задание 3. А теперь попробуйте применить магию переносов функции по горизонтали и по вертикали к функции y=log_ax. Опишите и изобразите сначала в общем (как в лекции применительно к показательной функции), а потом изобразите конкретную функцию y=log_a(x+b)+c. В качестве константы а возьмите первую цифру номера своего ЛД, b=второй цифре, с=третьей цифре или a-b, если номер вашего ЛД двузначный.

Задание 4. А как будет действовать коэффициент, помещённый перед знаком log (y=k*log_ax)?

Задание 5. Примените магию модуля к функции y=log_ax и просто нарисуйте получившийся вид функции для обоих случаев а (а>1 и 0<a<1), учитывая то, что модуль превращает всё отрицательное в положительное.

Удачи!

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной