ПРОИЗВОДНАЯ


Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны!

Сегодня у нас практический урок. Да не смотрите вы такими большими от удивления глазами на тему) Она вовсе несложная. Производная однозначно связана с интегралом. Дифференцирование (а именно так называется процесс взятие производной от какой-то функции) - это операция, обратная интегрированию. У вас не получится интегрировать, если вы не знаете, как взять производную. Да и дальше мы уже не сможем разбираться с функциями, не вспомнив производную. Не всё же чисто о магии рассуждать, надо и конкретно тренироваться.
Я, конечно, не буду рассказывать вам теорию дифференцирования. Это отдельный, причём очень большой раздел математики. А вот технику дифференцирования мы на этом уроке попробуем отработать.

Для начала приведу основные правила вычисления производных (ОПВП).

Правила вычисления производных

А теперь приведу табличку производных основных элементарных функций (ТПОЭФ)

Производные элементарных функций

Ещё нам понадобится вот эта формула
Преобразование степени

     (*)


А теперь я приведу примеры на все основные случаи функций.

1. y = x3 - 4x2 - 6x + 5

Как видно, эта функция - комбинация суммы и разности четырёх функций: y1=x3, y2=4x2, y3=6x, y4=5.
ибо вообще, можно сказать, что тут сумма четырёх функций: y1=x3, y2=-4x2, y3=-6x, y4=5.
Поэтому нам надо использовать правило 2 из ОПВФ

y' = (x3 - 4x2 - 6x + 5)'=(x3)' - (4x2)' - (6x)' + (5)'

(x3)'=3*x2 (по 2 из ТПОЭФ)

(4x2)'=4*(x2)'=4*2х=8х (сначала применили 1 из ОПВФ, а потом 2 из ТПОЭФ)

(6х)'=6*x'=6 (сначала применили 1 из ОПВФ, а потом 2 из ТПОЭФ)

(5)'=0 (по 1 из ТПОЭФ)

Итак,
y' = (x3 - 4x2 - 6x + 5)'=(x3)' - (4x2)' - (6x)' + (5)' = 3*x2 - 8х - 6

На самом деле, все вычисления со временем производятся очень быстро в уме.

2. y = sin3(4x)

Казалось бы, такая невзрачная функция, а она является сложной и содержит в себе аж 3 функции:
- самая внешняя - куб
- следующая - синус
- и самая внутренняя прямая

Обозначим v=4x, тогда получаем следующие по вложенности функции:
u=sinv
y=u3
Значит,
Производная сложной функции
Производная сложной функции

На самом деле, всё это делается в вычислениях намного проще, просто надо уметь видеть, какой аргумент у какой из вложенных функций. Обычно все эти обозначения через v, u и т.д. пропускаются и пишутся вычисления так:

Производная сложной функции

То есть производная внешней функции умножается на производную следующей по вложенности функции. Далее рассматривается уже производная этой функции. Если она тоже сложная, то проделывается то же самое.

3. y=(cos4(3x+1))x2

Это случай, когда и основание степени, и сама степень - функции. Ни одно из правил не подходит, поэтому надо сначала применить формулу (*). Получим

y=eln(cos4(3x+1))x2=ex2lncos4(3x+1)=e4x2ln(cos(3x+1))

Теперь у нас получилась показательная функция с основанием e и показателем - произведением двух функций, одна из которых сложная. Найдём производную

Производная сложной функции

Напугали такие вычисления?) На самом деле, ничего сложного нет. Всё выполняется последовательно.

Ну и теперь домашнее задание: Из приведённых ниже функций выберите 10 и продифференцируйте их, то есть найдите производные. Сначала подобрала вам список довольно сложных функций, но потом заменила на более лёгкие.

Производная сложной функции

Но это ещё не всё. На этом же уроке давайте вспомним про касательную к функции. Касательная к функции в какой-то точке x0 - это прямая, которая касается этой функции в данной точке.

Касательная к функции

Мне очень нравится её уравнение. Красивое!

y=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)

В общем-то, я дальше про касательную не буду рассказывать, а вам ещё одно небольшое задание. Вспомните уравнение прямой с угловым коэффициентом и сравните его с уравнением касательной. Найдите, чему равно k и b. Сделайте вывод: чему равен угловой коэффициент касательной к данной функции в данной точке? И немного практики. Возьмите уравнение параболы f(x)=ax2+bx+c (коэффициенты a, b, c выбираются, как раньше, из цифр вашего ЛД) и напишите уравнения касательных в точках х0=-2 и х1=3. Постройте параболу и эти касательные.

Ну вот теперь урок будем считать законченным. Кстати, если вдруг у вас будут в домашней работе ошибки в вычислениях, то после обсуждения их с вами я могу дать, по вашему желанию, дополнительные задания. Если вы с ними справляетесь, то оценка повышается.

Если возникли вопросы - задавайте их в КЦ Аргемоны.

Удачи!



Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной Персефона




http://0225.ru/ бобруйский.