ПРОИЗВОДНАЯ

Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны!

Сегодня у нас практический урок. Да не смотрите вы такими большими от удивления глазами на тему) Она вовсе несложная. Производная однозначно связана с интегралом. Дифференцирование (а именно так называется процесс взятие производной от какой-то функции) - это операция, обратная интегрированию. У вас не получится интегрировать, если вы не знаете, как взять производную. Да и дальше мы уже не сможем разбираться с функциями, не вспомнив производную. Не всё же чисто о магии рассуждать, надо и конкретно тренироваться.
Я, конечно, не буду рассказывать вам теорию дифференцирования. Это отдельный, причём очень большой раздел математики. А вот технику дифференцирования мы на этом уроке попробуем отработать.

Для начала приведу основные правила вычисления производных (ОПВП).



А теперь приведу табличку производных основных элементарных функций (ТПОЭФ)



Ещё нам понадобится вот эта формула


     (*)


А теперь я приведу примеры на все основные случаи функций.

1. y = x³ - 4x² - 6x + 5

Как видно, эта функция - комбинация суммы и разности четырёх функций: y₁=x³, y₂=4x², y₃=6x, y₄=5.
ибо вообще, можно сказать, что тут сумма четырёх функций: y₁=x³, y₂=-4x², y₃=-6x, y₄=5.
Поэтому нам надо использовать правило 2 из ОПВФ

y' = (x³ - 4x² - 6x + 5)'=(x³)' - (4x²)' - (6x)' + (5)'

(x³)'=3*x² (по 2 из ТПОЭФ)

(4x²)'=4*(x²)'=4*2х=8х (сначала применили 1 из ОПВФ, а потом 2 из ТПОЭФ)

(6х)'=6*x'=6 (сначала применили 1 из ОПВФ, а потом 2 из ТПОЭФ)

(5)'=0 (по 1 из ТПОЭФ)

Итак,
y' = (x³ - 4x² - 6x + 5)'=(x³)' - (4x²)' - (6x)' + (5)' = 3*x² - 8х - 6

На самом деле, все вычисления со временем производятся очень быстро в уме.

2. y = sin³(4x)

Казалось бы, такая невзрачная функция, а она является сложной и содержит в себе аж 3 функции:
- самая внешняя - куб
- следующая - синус
- и самая внутренняя прямая

Обозначим v=4x, тогда получаем следующие по вложенности функции:
u=sinv
y=u³
Значит,



На самом деле, всё это делается в вычислениях намного проще, просто надо уметь видеть, какой аргумент у какой из вложенных функций. Обычно все эти обозначения через v, u и т.д. пропускаются и пишутся вычисления так:



То есть производная внешней функции умножается на производную следующей по вложенности функции. Далее рассматривается уже производная этой функции. Если она тоже сложная, то проделывается то же самое.

3. y=(cos⁴(3x+1))^x2

Это случай, когда и основание степени, и сама степень - функции. Ни одно из правил не подходит, поэтому надо сначала применить формулу (*). Получим

y=e^{ln(cos4(3x+1))x2}=e^{x2lncos4(3x+1)}=e^{4x2ln(cos(3x+1))}

Теперь у нас получилась показательная функция с основанием e и показателем - произведением двух функций, одна из которых сложная. Найдём производную



Напугали такие вычисления?) На самом деле, ничего сложного нет. Всё выполняется последовательно.

Ну и теперь домашнее задание: Из приведённых ниже функций выберите 10 и продифференцируйте их, то есть найдите производные. Сначала подобрала вам список довольно сложных функций, но потом заменила на более лёгкие.



Но это ещё не всё. На этом же уроке давайте вспомним про касательную к функции. Касательная к функции в какой-то точке x₀ - это прямая, которая касается этой функции в данной точке.



Мне очень нравится её уравнение. Красивое!

y=f(x₀)+f'(x₀)*(x-x₀)

В общем-то, я дальше про касательную не буду рассказывать, а вам ещё одно небольшое задание. Вспомните уравнение прямой с угловым коэффициентом и сравните его с уравнением касательной. Найдите, чему равно k и b. Сделайте вывод: чему равен угловой коэффициент касательной к данной функции в данной точке? И немного практики. Возьмите уравнение параболы f(x)=ax²+bx+c (коэффициенты a, b, c выбираются, как раньше, из цифр вашего ЛД). Постройте эту параболу. Потом определите точку, в которой функция принимает наименьшее значение, и возьмите по одной точке слева и справа от неё. Напишите уравнения касательных в этих трёх точках и постройте их. Обратите внимание на знаки f' в этих точках.
Потом возьмите уравнение параболы f(x)=-ax²+bx+c (коэффициенты a, b, c выбираются, как раньше, из цифр вашего ЛД). Постройте эту параболу. Определите точку, в которой функция принимает наибольшее значение, и возьмите по одной точке слева и справа от неё. Напишите уравнения касательных в этих трёх точках и постройте их. Также обратите внимание на знаки f' в этих точках.
После этого сделайте вывод по поводу знака f' слева и справа от точки наименьшего значения и точки наибольшего значения, сравните эти знаки с убыванием/возрастанием функции. И вывод по поводу значения f' в точках наибольшего и наименьшего значений. Что общего у касательных в точках наибольшего и наименьшего значений?

Ну вот теперь урок будем считать законченным. Кстати, если вдруг у вас будут в домашней работе ошибки в вычислениях, то после обсуждения их с вами я могу дать, по вашему желанию, дополнительные задания. Если вы с ними справляетесь, то оценка повышается.

Если возникли вопросы - задавайте их в КЦ Аргемоны.

Удачи!

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной