ВОЛШЕБНЫЕ ТОЧКИ

Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны!

Вот мы и добрались до последней лекции второго модуля. А сегодня мы познакомимся с очень интересным преобразованием. Но сначала давайте вспомним то, что изучали на прошлом уроке, а именно, про линейное преобразование. Вы проводили частные исследования магии его коэффициентов, а давайте посмотрим на них с научной точки зрения.

w=az+b, где a, b - комплексные числа.

Сначала рассмотрим коэффициент а.

a=a₁+ia₂

Запишем этот коэффициент в показательной форме

a=|a|*e^iφ

|a|=sqrt(a₁²+a₂²)

Рассмотрим преобразование
w=az=|a|*e^iφ*z

Видно, что к точкам плоскости z применяется два преобразования: |a| и e^iφ. Рассмотрим их последовательно.

w₁=|a|*z

Это преобразование увеличивает или уменьшает длину радиус-вектора исходной точки z. Длина радиус-вектора любой точки области из плоскости z изменяется в |a| раз.

w₂=e^iφ*w₁

А вот это преобразование обеспечивает поворот радиус-вектора точки w₁ на угол φ. Положительный угол - это поворот против часовой стрелки, отрицательный - по часовой стрелке.
Давайте вам это покажу, чтобы сомнений не было, то есть, что последнее преобразование обеспечивает вращение и ничего больше.

w₂=e^iφ*w₁=(cosφ+isinφ)*|w₁|*(cosφ₁+isinφ₁)=|w₁|*(cosφ*cosφ₁+isinφ*cosφ₁+icosφ*sinφ₁+i²*sinφ*sinφ₁)=|w₁|*((cosφ*cosφ₁-sinφ*sinφ₁)+i(sinφ*cosφ₁+cosφ*sinφ₁))=|w₁|*(cos(φ+φ₁)+isin(φ+φ₁))

Ну, или, в показательной форме это будет выглядеть так:
w₁=|w₁|*e^iφ₁
w₂=e^iφ*w₁=e^iφ*|w₁|*e^iφ₁=|w₁|*e^iφ*e^iφ₁=|w₁|*e^i(φ+φ₁)

Видно, что получается точка, у которой сохраняется длина радиус-вектора, а вот аргумент равен сумме аргументов.

И теперь добавим преобразование b.
w₃=w₂+b

Это преобразование - перенос всей плоской фигуры на вектор b.

Вот все эти преобразования последовательно показаны на рисунке:
- треугольник D сначала увеличивается в 2 раза. Получается треугольник D₁;
- затем треугольник D₁ поворачивается на 90 градусов против часовой стрелки и преобразуется в треугольник D₂;
- и последнее. Треугольник D₂ переносится на вектор b=-5-3i в треугольник D₃.



Давайте запишем это преобразование в виде функции:

w=e^iπ/2*2*z+(-5-3i)
w=(cos(π/2)+isin(π/2))*2*z+(-5-3i)
w=2i*z-5-3i

В общем-то, видно, что сначала треугольник можно было и повернуть на 90 градусов, а потом увеличивать в 2 раза. Результат был бы тот же.

Всё это нам поможет сейчас при знакомстве со следующим преобразованием, которое будет посложнее линейного, но зато и ещё интереснее. Данное преобразование называется дробно-линейным



Если с=0, то мы получим линейное преобразование, которое уже рассматривали. Поэтому будем считать, что с≠0. Видно, что это преобразование имеет особую точку
z=-d/c

И вот как раз именно эта точка и является поистине волшебной и руководит всем преобразованием. Все окружности и прямые, проходящие через неё, волшебным образом преобразуются в прямые. А окружности и прямые, не проходящие через эту точку, преобразуются в окружности.

Давайте посмотрим пример. Возьмём простую функцию



У этой простой функции есть своё личное название, и называется она инверсией.
Попробуем при помощи инверсии преобразовать полуполосу: -1≤х≤1; y≥0.



Видно, что граница нашей области состоит из трёх частей. Две из них (вертикальные) не проходят через волшебную точку z=0, поэтому они преобразуются в окружности. Горизонтальная граница проходит через волшебную точку, поэтому она преобразуется в прямую. Теперь выясним, в какие окружности и прямые будут преобразованы границы.

Запишем инверсию, подставив w=u+iv и z=x+iy, и выразим u и v через x и y.



Теперь найдём образы границ



Так как y≥0, то u<0; v≤0.

Чтобы получить y, видно, что можно поделить второе уранение на первое (иногда отнимают/складывают уравнения, но в данном случае надо делить). Получившееся значение для у подставим в первое уравнение

       

Получили окружность с центром в точке (-1/2; 0) и радиусом 1/2. Так как есть ограничение u<0; v≤0, то это не вся окружность, а нижняя часть её.

Аналогично найдём преобразование второй вертикальной границы.



Так как y≥0, то u>0; v≤0. Поделим второе уравнение на первое и получившееся значение для у подставим в первое уравнение

       

Получили окружность с центром в точке (1/2; 0) и радиусом 1/2. Так как есть ограничение u>0; v≤0, то это не вся окружность, а нижняя часть её.

Теперь найдём образ горизонтальной границы: y=0, -1≤х≤1.



Когда х меняется от -1 до 0, то u будет меняться от -1 до -∞. Это получится луч (часть действительной оси) с началом в точке -1 и направленный влево.
Когда х меняется от 1 до 0, то u будет меняться от 1 до +∞. Будет луч (часть действительной оси) с началом в точке 1 и направленный вправо.

Теперь, когда найдены все границы, надо определить, в какую область перешла полоса. Возьмём любую точку, принадлежащую полосе, и вычислим её образ.

z=i
w=1/i=i/i₂=-i

Видно, что найденная точка принадлежит нижней полуплоскости.



Ну и осталось нам разобрать совсем немного. Допустим, нам даны две области и надо найти преобразование, которое переведёт одну область в другую. Очень интересная задача. И решается она интересно. Сейчас на примере мы это разберём. Нам надо выяснить, с помощью какого преобразования можно перевести область между окружностями |z-i|=1, |z-2i|=2 в полосу 0≤Re(w)≤1.

       

Видим, что нам нужно обе окружности преобразовать в прямые, то есть нужно распрямить. Это можно сделать, если они обе будут проходить через волшебную точку. И такая точка находится. Это z=0. Значит, делаем первую прикидку: нам нужна функция w₁=1/z. Естественно, что она не сделает всё именно так, как нам необходимо, но мы потом скорректируем её. А пока определим, как она преобразит наши окружности.



Маленькая окружность преобразовалась в прямую, параллельную действительной оси.



Большая окружность также преобразовалась в прямую, параллельную действительной оси, только находящуюся на другом расстоянии. Итого мы получили полосу. Проверим, перешла ли нужная нам область во внутренность полосы. Возьмём точку z=3i

w₁=1/(3i)=i/(3i²)=-i/3

Эта точка принадлежит внутренности полосы. Значит, пока всё нормально.



Теперь нам нужно повернуть нашу полосу на 90 градусов (это π/2) против часовой стрелки (можно поворачивать и по часовой, но угол тогда будет отрицательный, поэтому против часовой удобнее) и увеличить ширину полосы. Сейчас ширина полосы 1/4, а нужно, чтобы ширина полосы была равна 1. Значит, надо увеличить в 4 раза.
Значит, следующее преобразование будет таким

w₂=4*e^iπ/2*w₁=4*(cos(π/2)+isin(π/2))*w₁=4i*w₁

И мы получим вот такую полосу



Видно, что уже почти то, что надо. Только нужно ещё сдвинуть полосу на 1 единицу влево, то есть на вектор -1.

w=w₂-1

Ну и теперь соберём окончательно нашу функцию:

w=4i/z-1=(4i-z)/z

Вот мы и разгадали тайну данного преобразования! А теперь запишите домашнее задание.

1. Мы с вами научились удивительному преобразованию. Подумайте, где маги это могут использовать.

2. Практическое задание. На выбор.

a) Найдите, в какую область преобразуется круг |z+i|<1 с помощью функции w=i(z-1)/(z+i).

б) Найти образ области D, ограниченной лучом х=0, y>=0, отрезком у=0, 0<=x<=2, лучом х=2, у>=0 при помощи отображения w=-1/z.

3. Найдите функцию-преобразование, которая преобразует единичную окружность с центром в начале координат в левую полуплоскость.

Удачи!

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной