Сегодня мы займёмся преобразованием плоского мира, а то для чего мы его вообще начали изучать. Как вы думаете, где магам может понадобиться совершать такие преобразования? Это будет первым вопросом вашего домашнего задания.
Если вы полистаете лекции по простейшим фукциям, которые нам помогали преобразовывать одномерный мир, то вспомните, что изучать функции мы начинали с прямой. Это самый простой вид преобразования. Давайте вспомним уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y=kx+b, где k, b - действительные числа.
Коэффициент k руководит углом наклона прямой к оси ОХ, а коэффициент b - параллельным переносом прямой по вертикали.
Похожая функция есть и в плоском мире. Одно но! Мы её саму увидеть не сможем, а сможем только увидеть результат её действия. Почему так? При преобразовании одномерного мира функции имеют вид линии на плоскости, то есть вид самих функций на порядок выше размерности мира, который они преобразуют. Поэтому при преобразовании плоского мира, который двумерный, функции имеют трёхмерный вид. Так что, изобразить их очень проблематично. Но не будем расстраиваться: нам важнее научиться точно предусматривать, предугадывать, вычислять результат воздействия функции, чем знать её вид.
Итак, вашему вниманию представляется линейная функция
w=az+b, где a и b - постоянные комплексные числа, а≠0.
Ещё один момент, который надо прояснить перед тем, как заняться исследованием этой функции (и следующих тоже). Рисовать сами функции, как вы уже поняли, мы не будем, а будем изображать только исходные области, которые будут называться прообразом функции, и получившиеся области - это будут образы функции-преобразования.
Примем, что исходные области (прообразы) всегда состоят из точек z=x+iy (это будет комплексная плоскость z), а полученные области (образы) будут состоять из точек w=u+iv (это комплексная плоскость w).
Получается, как будто два параллельных мира (z и w), а между ними находится некая-то сила (или портал-преобразователь), которая каждую точку мира z преобразует каким-то образом в точку мира w.
Эта линейная функция преобразует прямые в прямые (с сохранением углов между ними), окружности в окружности. А вот за что отвечает каждый коэффициент, вам придётся установить самим.
Задание 2. Проведите исследование функций w=az и w=z+b и выясните, на что влияет каждый коэффициент.
А мы сейчас обратимся к практике. Я вам покажу, как надо действовать в случае такого преобразования.
1. Допустим, нам дан прообраз и само преобразование. Надо найти образ.
Возьмём конкретно: отрезок с концами А(1; 3) и В(5; 3), функция-преобразование w=(2+i)z-5+i.
Концы отрезка-прообраза преобразуются в концы отрезка-образа. Соответственно, все остальные точки отрезка-прообраза также преобразуются в точки отрезка-образа. Видно, что отрезок получился длиннее и повёрнутый на определённый угол.
2. Теперь решим обратную задачу. Нам дано то, что мы хотим получить, и то, из чего хотим получить. И надо найти функцию-преобразование, делающую это.
Допустим, хотим преобразовать треугольник с вершинами в точках 3+2i, 7+2i, 5+4i в треугольник с вершинами в точках 0, -2i, 1-i.
Из рисунка видно, что точка 3+2i преобразовалась в точку 0, точка 7+2i - в точку -2i. Ну и, соответственно, точка 5+4i - в точку 1-i.
Берём общий вид функции
w=az+b
У нас две неизвестных константы a и b. Для их определения нам достаточно двух пар точек.
0=a(3+2i)+b
-2i=a(7+2i)+b
Вычтем из первого уравнения второе. Получим
2i=a(3+2i-7-2i)
2i=-4a
a=-i/2
Подставим найденное значение для а в первое уравнение
0=-i/2(3+2i)+b
b=3i/2-1
Итак, наше преобразование имеет вид
w=(-i/2)z+3i/2-1
А интересно, если нам надо преобразовать не просто треугольник как контур, а с внутренностью, нам поможет эта же функция? Давайте проверим, в какие точки переходят точки внутренности треугольника-прообраза. Для этого достаточно взять одну точку внутри треугольника-прообраза. Ну, например, 5+3i.
w=(-i/2)(5+3i)+3i/2-1=-5i/2+3/2+3i/2-1=1/2-i
Видно, что получившаяся точка находится внутри треугольника-образа. Значит, при найденном преобразовании весь треугольник (с внутренним содержимым) переходит в треугольник, только чуть меньше по размерам и повёрнутый на 90 градусов.
А теперь предлагаю вам самим потренироваться в этих интересных и несложных преобразованиях.
Задание 3. Найти область в плоскости w, в которую переходит треугольник с вершинами в точках 0, 3, 2i с помощью преобразования w=iz-1.
Задание 4. Найти преобразование w, которое преобразует прямоугольник -7≤Re(z)≤-3, 2≤Im(z)≤4 в прямоугольник -4≤Re(w)≤0, -8≤Im(w)≤0.
Задание 5. Найдите преобразование, которое преобразует круг |z-i|<2 в круг |w-2|<4 так, чтобы горизонтальный диаметр переходил в горизонтальный. А потом найдите другое преобразование, при котором горизонтальный диаметр преобразуется в вертикальный.
Хотела в этой же лекции рассмотреть ещё один вид преобразования, но решила, что на первый раз это будет слишком. Поэтому эту лекцию я завершаю, а кому стало интересно - жду на следующей.
Удачи!
Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной
Карта сайта (с) Чжоули
Последние изменения:
17.11.2015
