ПЛОСКИЙ МИР

Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны!

До этого момента мы с вами занимались преобразованием одномерного мира, который для простоты и наглядности был представлен миром действительных чисел.
Однако все вы знаете, что мы, например, жители трёхмерного мира, а вот плоскость - это плоский мир, который является двумерным. Конечно же, преобразовывать плоскость ещё интереснее, чем просто прямую. Но в этом случае сначала надо разобраться с жителями такого мира - жителями плоскости.

Вопрос 1. Опишите, как вы видите плоский мир.

Для того, чтобы научиться в будущем преобразовывать двумерный мир, надо попробовать математически описать жителей плоского мира. Как вы уже знаете, каждая точка на плоскости характеризуется двумя координатами (х; y) - абсциссой и ординатой.
Однако каждую точку (х; y) на плоскости можно задать в едином виде, используя мнимую единицу - i, которая есть корень квадратный из -1 (i²=-1):

z=х+iy      алгебраическая запись мнимого числа

x - это действительная часть мнимого числа, Re(z)
у - мнимая часть мнимого числа, Im(z).

Если х=0, то число называется чисто мнимым.
Если у=0, то число превращается в действительное.

Обратили внимание на нашу плоскость? Те же оси, что и ранее, только назовём мы их немного по-другому: ось ОХ - это действительная ось, ось OY - мнимая. А вся плоскость называется комплексной плоскостью.

Над мнимыми числами можно производить всякие действия.

1. Сложение/вычитание



2. Умножение



3. Деление



Видно, что над мнимыми числами производятся обычные алгебраические действия, как над двучленами. При делении числитель и знаменатель дроби умножаются на сопряжённое мнимое число (это то, у которого другой знак перед мнимой частью).

Теперь, чтобы возвести мнимое число в любую степень или извлечь корень любой степени из мнимого числа, рассмотрим другую запись мнимых чисел - не алгебраическую, которая была до этого.

Каждой точке на плоскости (кроме нуля) сопоставляется радиус-вектор, который соединяет начало координат и саму точку. Этот радиус-вектор характеризуется длиной (или часто используют понятие модуль комплексного числа и потому применяют знак модуля) r=|z| и углом наклона к горизонтальной оси φ=arg(z).



В результате мы получили тригонометрическую форму мнимого числа.

Из этой формы, используя следующие красивые формулы, связывающие косинус и синус с экспонентой, мы получим показательную форму мнимого числа.





И вот совершенно замечательные формулы для возведения мнимого числа в степень и для извлечения корня из мнимого числа




Корней n-й степени из мнимого числа всего ровно n штук. Все они - вершины правильного n-угольника.
Вот, например, на рисунке представлены корни 5-й степени из мнимой единицы
1=cos0+isin0

Как видно, умножение и деление легче производить над мнимыми числами, записанными в показательной форме.



И, напоследок, в этой же лекции разберём, как можно записывать разные плоские области мнимыми числами. Например, что вот задаётся таким равенством:

|z+1-i|=|z-1+i|?

z - это комплексное число.
Можно рассуждать так: требуется найти множество таких точек z, которые находятся на одинаковом расстоянии от точек (-1+i) и (1-i). Видно, что такие точки находятся на прямой, которая проходит через центр отрезка [-1+i; 1-i] и перпендикулярна этому отрезку. А это прямая y=x. Однако лучше всё делать математическими вычислениями. Тут уж точно никаких сомнений не будет, хотя предварительные рассуждения помогают для установления направления, в котором надо двигаться в своих вычислениях.

z=x+iy
|x+iy+1-i|=|x+iy-1+i|
Собираем вместе действительную часть мнимых чисел справа и слева и мнимую часть.
|(x+1)+i(y-1)|=|(x-1)+i(y+1)|
Теперь вычисляем модули этих чисел
sqrt((x+1)²+(y-1)²)=sqrt((x-1)²+(y+1)²)
Возводим обе части уравнения в квадрат
(x+1)²+(y-1)²=(x-1)²+(y+1)²
x²+2x+1+y²-2y+1=x²-2x+1+y²+2y+1
4x=4y
x=y
Или в привычном виде
y=x

Равенствами задаются различные линии на плоскости (не только прямые, но и параболы, гиперболы, окружности, эллипсы и т.п.), а вот неравенствами можно задать уже определённые области плоскости.
Например, найти точки плоскости, удовлетворяющие неравенству:

       

Множество точек, удовлетворяющих такому неравенству, - это круг с центром в точке (-2/3; 0) и радиусом 4/3. Сама окружность тоже входит в это множество.
Вообще, когда при решении вы видите, что у вас есть x в квадрате и y в квадрате, то, скорее всего, всё можно свести к уравнению окружности, которое в общем виде выглядит так:
(x-a)² + (y-b)² = r² — это уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом r.

А вот ещё один пример на нахождение множества точек.

       

Получили часть плоскости, причём граница не входит в это множество и обозначается пунктиром.

На этом мы закончим сегодняшнюю лекцию. А теперь оставшееся домашнее задание:

2. Из цифр номера своего ЛД сконструируйте различные мнимые числа. Изобразите их на плоскости. Затем потренируйтесь во всех видах вычислений, которые мы проходили на уроке (кроме извлечения корня), беря всевозможные пары своих мнимых чисел.

3. Вычислите корень третьей степени из мнимой единицы и изобразите все решения на комплексной плоскости.

4. Определите множества чисел, удовлетворяющих следующим условиям, и изобразите эти области:

а) |z|=Re(1+z)
б) |z|²-|z|+1>3(|z|+2)
в) |z-2|²-|z+2|²>=3

Тема хоть и несложная, но, наверное, непривычная, поэтому не стесняйтесь приходить в КЦ и консультироваться по всем вопросам, которые возникли во время подготовки домашнего задания.

Удачи!

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной