ДВОЙНЫЕ ЗАКЛИНАНИЯ

Приветствую вас, уважаемые студенты вуза Аргемоны!

Ну вот мы с вами и подошли к концу нашего интересного курса. Осталась последняя лекция - и вы можете считать себя специалистом в той области, которую мы с вами изучали на протяжении четырёх модулей.
Однако, ещё немного терпения. На этой лекции я хочу познакомить вас с двойными заклинаниями.

До этого момента мы изучали простой интеграл по определённому числовому промежутку. А теперь рассмотрим двойной интеграл, который определяется не на числовом промежутке, а на какой-то области. Посмотрим, в чём нам могут приходиться такие двойные заклинания. Обозначается двойной интеграл так



R - как раз та самая область, на которой рассматривается это заклинание. dA - это обобщённый дифференциал.

Теперь мы попытаемся совладать с таким мудрённым заклинанием.

Если интеграл от функции одной переменной f(x)≥0 выражает площадь под кривой f(x) в интервале от x=a до x=b, то двойной интеграл выражает объём под поверхностью z=f(x,y) выше плоскости Oxy в области R.



Мы не будем подробно рассматривать функции от двух переменных. Это очень большая и серьёзная область для изучения, но кое-что нетрудное и понятное с первого раза я вам покажу. А для начала разберём, как же можно вычислять такой интеграл. А вычисляется он довольно просто, с помощью повторных интегралов. Тут рассматривается два случая.

1. Область, на которой действует интеграл, имеет вид



Тогда двойной интеграл через повторные выражается так


То есть x меняется в чётких статических пределах, а y меняется от одной функции до другой.

2. Область, на которой действует интеграл, имеет вид



В этом случае двойной интеграл через повторные выражается следующим образом


Здесь наоборот: y меняется в чётких статических пределах, а x меняется от одной функции до другой.

В случае повторных интегралов сначала вычисляется внутренний интеграл (дифференциал показывается, что является переменной, а что константой: если дифференциал по x, то x - переменная, y - константа, и наоборот), подставляются границы, потом вычисляется внешний интеграл.

Теперь рассмотрим случаи, когда удобно использовать такое заклинание. И заодно на примерах научимся им пользоваться.

1. Вычисление объёма криволинейного цилиндра.
Думаю, именно так можно назвать фигуру, у которой сверху и снизу какие-то области, отличные от круга, а боковая поверхность перпендикулярна плоскости, на которой стоит этот цилиндр.
Я вам покажу, как строится одна несложная поверхность

z=x²+y²

Чтобы понять, что это за поверхность, поступим следующим образом.
Зафиксируем z. Это будет означать, что мы рассматриваем плоскость, параллельную плоскости Oxy и находящуюся на высоте z.

z=0. Это сама плоскость Oxy.
x²+y²=0 - этому выражению удовлетворяет лишь одна точка (0;0). То есть в плоскость Oxy мы имеем лишь одну точку.

z=1.
x²+y²=1 - это, как легко увидеть, уравнение окружности с центром в точке (0;0) и радиусом 1. Только надо помнить, что эта окружность у нас лежит в плоскости, которая находится на высоте 1 над плоскостью Oxy.

z=4.
x²+y²=4 - окружность с центром в точке (0;0) и радиусом 2.

Получается, что чем выше плоскость мы берём, тем окружность с бОльшим радиусом там располагается. Центры этих окружностей нанизаны на ось OZ.
Если плавно обернуть эти окружности каким-то материалом, то мы получим вот такую фигуру. Называется параболоид. Её ещё можно получить вращением параболы вокруг своей оси симметрии.



Очень удобная фигура и применима в разных магических практиках.
Рассмотрим, как можно посчитать объём криволинейного цилиндра, который ограничивается кусочком такого параболоида.



Просто взяли и отрезали верх параболоида на высоте 1. Из полученной фигуры вырезали четвертинку магическим резаком, который по местам прохода оставлял за собой прозрачные поверхности, ограничивающие фигуру по бокам. И потом присоединили плоскость с оставшейся стороны. Эта плоскость соприкасается с параболоидом лишь в одной верхней точке.
Видно, что область в плоскости Oxy, над которой висит кусочек параболоида, представляет собой треугольник со сторонами:
x=0
y=0
y=1-x (или если выразить относительно x, то x=1-y)



Смотрим, какую переменную мы можем зафиксировать, а какая будет меняться уже в зависимости от первой.
Мы можем зафиксировать x: он меняется от 0 до 1. Проведём прямую, параллельную оси Oy в произвольной точке x (от 0 до 1). По этой прямой видим, как меняется y: от меняется от 0 до прямой y=1-x.



Поэтому объём вычисляется следующим образом:



А попробуем теперь зафиксировать y. Видно, что он тоже меняется от 0 до 1. Проведём теперь прямую, параллельную оси Ox в произвольной точке y (от 0 до 1). По этой прямой видно, как меняется x: от 0 до прямой x=1-y.



Тогда объём тела мы можем посчитать, расставив пределы интегрирования другим способом:



2. Вычисление площади поверхности.
Площадь поверхности, расположенной над областью R, вычисляется следующим образом:



и - это частные производные функции. Когда берётся производная по x, y считается константой, и наоборот.
Например, в нашем случае



Для примера вычислим площадь поверхности параболоида высотой 1.



Видно, что он даёт "тень" на плоскость Oxy в виде единичного круга, окружность которого задаётся уравнением:
x²+y²=1
Когда у нас есть что-то круглое, то тут лучше вспомнить про полярные координаты, тем более, что в двойном заклинании можно к ним перейти, используя следующее правило:



И надо помнить выражение x и y через полярные координаты.
Чтобы пробежать весь единичный круг, угол φ должен меняться от 0 до 2пи, а радиус r меняется от 0 до 1.
Вычисление площади поверхности нашего параболоида будет происходить следующим образом



В нашем случае было неважно, какой интеграл сделать внешним, а какой - внутренним, потому как границы интегрирования не зависели от переменных.

3. Вычисление площади фигур.
Если f(x,y)=1, то применение такого двойного заклинания позволит нам вычислить площадь фигуры. Легко проверить, что для случая обычного интеграла при f(x)=1 мы получим длину отрезка, по которому идёт интегрирование.
То есть площади плоской фигуры вычисляется по формуле



4. Вычисление центров масс.
Использование двойных заклинаний позволит облегчить для запоминания формулу для вычисления центров масс для однородных тел (то есть тел, имеющих одинаковую плотность в любой своей точке). Они приобретают вид:



Очень простые для запоминания заклинания.

А теперь домашнее задание. Вы можете брать свои примеры для практики или те, что я дам. Используем только тему урока, то есть двойные заклинания.

1. Найти площади фигур (выберите любые 3):
a) ограниченной гиперболами y=1/x, y=2/x и вертикальными прямыми: x=1, x=2;
б) ограниченной линиями: y²=1-x, y=1+x;
в) ограниченной функциями y=x³, x+y=2, x=0;
г) ограниченной линиями x²+y²=4, x+y-2=0;
д) ограниченной функциями y=3-x², y=2x;
е) ограниченной линиями x=y-1, x=y, y=1, y=2;
ж) ограниченной линиями x²+y²=1, x²+y²=4;
з) лепестка розы r=cos(2φ).

2. В этом задании надо выбрать что-то одно. Найти объём тела, ограниченного поверхностями (сами фигуры и области, на которые они проецируются, я вам выдам):
a) z=xy - это фигура, похожая на седло;




x+y=a - вертикальная плоскость, проходящая через прямую x+y=a,
z=0 - плоскость Oxy.
В результате получается фигура, изображённая ниже



б) z=0 - плоскость Oxy,
x+y=1 - вертикальная плоскость, проходящая через прямую x+y=1,
x²+y²=1 - цилиндр радиусом 1 (единичные окружности, нанизанные на ось Oz)
z=1-x - плоскость, перпендикулярная плоскости Oxz и проходящая через прямую z=1-x, расположенную в ней.
Как получилась эта фигура? Берём цилиндр с радиусом 1 (центральная ось у него - ось Oz). Отрезаем вертикально кусок (по прямой x+y=1), а потом режем по прямой z=1-x.



3. Определить центр масс однородной пластины, образованной параболами: y=x² и x=y².

4. В процессе выполнения заданий вы, наверное, обратили внимание, что некоторые вещи мы делали и раньше, но другим путём. Легче или труднее вам показалось новое изученное заклинание? Расскажите, как вы поняли, когда его можно использовать.

Удачи!

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной