Julia 1 курс Вуза (Арцис) Магия функций и интегралов
По следам каллиграфического искусства`
Здравствуйте, профессор. В качестве изображения мне захотелось взять надпись. Буквы тоже можно рисовать, а уж если надпись имеет некоторую причастность к декоративности (буквы по-особенному расположены, одна переходит в другую и т.д.), то и подавно. Идея возникла после того, как я почитала работы по каллиграфии: перо держат с определённым наклоном (можно изобразить как прямую с угловым коэффициентом), используются дуги, учитывается межбуквенный интервал. Часть буквы А — степенная функция; эту же функцию можно использовать дальше по тексту, и буквы А получатся одинаковыми. Для каких-то букв понадобятся прямые, для каких-то — параболы. А всё потому, что любая буква состоит из определённых элементов, элементы повторяются, что и делает алфавит цельным, органичным. Регулируется ширина, высота букв. Ширина требует разделения букв на несколько групп, ведь, например, буквы Р и Ш редко когда пишут одинаковой ширины. Длина букв должна учитывать, есть ли выносные элементы. Каллиграф, конечно, всё это делает на глазок, получая качественный и быстрый результат, а всяческие измерения нужны либо при изучении нового шрифта, либо при обучении искусству письма, либо когда в дело вступает не каллиграфия, а то, что "по её следам".
Целые алфавиты я тут, сочинять, конечно, не буду. Я возьму утверждение, что всякая буква состоит из нескольких элементов, которые можно показать с помощью функций, и попробую составить слово из тех функций, которые есть в моём распоряжении.
Писать буду слово «Аргемона». После некоторого количества попыток скомпоновать буквы, остановилась на этом варианте (здесь представлен набросок, без учёта каких-либо величин).
В букву А вписаны Р и Г, в букву Е — М и О, в букву Н — А. последняя фигура из стиля немного выбивается, отчасти потому, что в «Аргемоне» всё-таки восемь букв (хотя можно было бы стиль и сохранить, «Н» к этому располагает), отчасти потому, что мне показалось занимательным так вписать букву А. Цельность надписи предполагается, потому что в ней одинаковые (узнаваемые) горизонтальные линии. Ну и треугольнички на концах больших букв играют роль.
Перед тем, как составлять конкретные функции, надо решить, какие вообще я буду использовать, т.е. проанализировать надпись с точки зрения элементов, в которые в них входят — чем их можно представить?
Анализ букв
Для начала скажу в целом. Длина больших букв, допустим, равняется 12 клеткам. Однако стоит учесть, что треугольнички на вершинах могут выходить за «основные» пределы, т.е. высота букв — 12-13 клеток. Ширина букв будет зависеть прежде всего от того, насколько широкой окажется посередине А, потому что остальные легко подстроить под неё. Маленькие буквы будут регулироваться внутренними пространствами больших букв.
В букве А я вижу четыре параболы, а кроме них две прямые в модуле.
Буква Р имеет две окружности и две прямые.
Буква Г имеет четыре прямые и две параболы.
Буква Е имеет две прямые по основной длине, в треугольничках: две прямые, преломлённые модулем, и ещё шесть прямых, которые сделают треугольники, смотрящие вправо. И ещё шесть парабол.
Буква М имеет две функции синуса (или косинуса).
Буква О состоит из двух окружностей.
Буква Н имеет четыре прямые, ещё четыре прямые, преломлённые модулем, и две параболы.
Буква А имеет две параболы.
Если проводить более точные расчёты, то у нас получится примерно такой график:
И теперь посмотрим, с какими коэффициентами нам нужны функции, чтобы получить такую надпись.
Ищем функции
1. А.
Как я говорила, здесь есть четыре параболы и две прямые. Параболы у нас получаются различной ширины, причём все они шире, чем y=x2. Занимается этим коэффициент, умноженный на x2. В нашем случае он всегда будет меньше нуля. Посмотрим действие коэффициента, пока что не затрагивая вертикальные-горизонтальные сдвиги:
Для рисования вертикальных сторон буквы А пойдут функции 2 и 3, а функция 4 будет нужна для чёрточек посередине. И сразу замечу, что она понадобится не только в этой букве, но и в последующих.
Чтобы нарисовать А, нам необходимо развернуть функции 2 и 3 на 180 градусов, а это значит, применить магию минуса. Получится:
у= - 0,75х2 у= - 0,5х2
Чтобы нарисовать середину А, одну параболу 4 надо оставить прежней, а к другой тоже применить магию минуса.
у= 0,25х2 у= - 0,25х2
Теперь, глядя на основную схему, видим, что для функций с коэффициентами 0,75 и 0,5 надо применить сдвиг по оси ОХ на 10 шагов влево, а по оси ОУ — на 6 шагов вверх, для функций с коэффициентами 0,25 и -0,25 по оси ОХ на 10 шагов влево, по ОУ — на 0,5 и (- 0,5) шагов. Напишем формулы.
Буква А почти готова, осталось нарисовать прямые.
Где у нас кончаются параболы? Посчитаем без всяких горизонтально-вертикальных сдвигов, для простоты, но с магией минуса.
у= - 0,75х2 у= - 0,5х2 -12= - 0,75х2 х=4
-12= - 0,5х2 х=4,9 (примерно)
Значит, одна точка прямой будет иметь координаты {4; -12}, а вторая — посередине между 4 и 4,9, т.е. 4,45 и, так как прямая опускается на половину шага, к -12 прибавляем -0,5. Вторая точка получается {4,45; -12,5}
Прямая эта записывается формулой y=kx+b
Пользуясь мудростью предшественников и зная координаты двух точек прямой, отыщем k следующим образом:
-12=4k+b — таким будет уравнение при у=-12, х=4
b=-12-4k
и вместо b его можно подставить во второе уравнение, т.е. в 12.5=4.45k+b:
4.45k-12-4k=-12.5
0.45k=-0.5
k=-1.11
получается, прямая имеет угловой коэффициент (-1.11) и уравнение следующего вида (в случае, если проходит через начало координат):
у= -1,11х
Но нам нужен модуль прямой, причём преломляющийся в определённых точках (для буквы А): -5,45 для одного участка параболы и -14,5 для другого участка.
Пока мы не знаем b, но знаем, что вышеназванные точки будут равны -b/k
То есть
-5,45 = -b / -1.11
b = -6.04
-14,5 = -b / -1.11
b = -16.095
Получаются уравнения:
5. y=|-1.11x-6.04|-6
6. y=|-1.11x-16.095|-6
Буква А нарисована, однако нужно найти точки пересечения парабол. Если бы параболы находились в начале координат:
-0,75х2=0,25х2-6,5
-0,75 х2-0,25х2=-6,5
х2=6,5
х=+-2.55
y=6.5*(-0.75)=-4.875
Точки пересечения получаются следующие: (2.55; -4.875) и (-2.55; -4.875)
Смещаем в левую сторону графика. По горизонтали центр равняется -10, т.е. точки х получаются -12.55 и -7,45. Точки на оси ОУ поднимаются на 6 единиц. Получается 1,125.
В итоге, точки пересечения для функций у= -0,75(х + 10)2 + 6 и у=0,25(х + 10)2 - 0,5 такие: (-12.55; 1,125) и (-7,45; 1,125)
Теперь посмотрим точки пересечения функций у= -0,75х2 и у= -0,25х2-5,5
- 0,75х2=-0,25х2-5,5
- 0,75х2+0,25х2=-5,5
-0,5х2=-5,5
х2=11
х=+- 3.316
у= -0,75*11
у= -8,25
Так же сдвигаем на -10 единиц по оси ОХ.
х= -13,316 и х = -6,683
Игрек надо поднять на 5,5 единиц.
у= -8,25+5,5=-2,75
Точки пересечения для функций у= -0,75(х + 10)2 + 6 и у=-0,25(х + 10) 2 +0 0,5 такие: (-13,316; -2,75) и (-6,683; -2,75)
2. Р.
Эта буква состоит из не-функций: двух прямых и двух окружностей. Надо учесть, что прямые будут выходить из крайних левых точек окружностей.
7. х= -11
8. х= -10,8
9. (х+10)2 + (у-4)2=1
10. (х+9,8)2 + (у-4)2=1
3. Г.
Напишем уравнения прямых:
11. х= -11
12. х= -10,8
13. х= -8,8
14. х= -8,6 Помимо них есть две параболы, к которым применены магия перемещения по горизонтали и вертикали, а к одной из них - ещё и магия минуса. Магии расширения или сужения нет.
15. у= (х + 9.8)2 - 2
16. у= -(х + 9.8)2 - 1
4. Е.
Хоть Е и кажется сложной, но она состоит из элементов, которые мы уже разобрали раньше. Хотя не все. Например, прямые, образующие стрелочки, которые смотрят влево, надо ещё облечь в формулу.
Проведём линии "спины" Е.
17. x= -4
18. x= -3.1
Конечно, можно было бы провести строго по клеткам, но так как у нас прямая в модуле уже приготовлена, то будем пристраиваться под неё.
Формулы для прямых в модуле:
19. y=|-1.11x-(-(-1,11)*(-3,55))|-6,5=|-1.11x-3,94|-6,5
20. y= -|-1.11x-3,94|+6,5
Формулы парабол. На них действует магия расширения, вертикального сдвига и иногда — магия минуса.
Для них надо указать точки пересечения с прямой. Параболу берём из начала оси координат. Для этого в каждую формулу вместо х подставляем 3,1.
у= 0,25*(-3,1)2 + 4= 2,4 + 4=6,4
у= 0,25*(-3,1)2 - 0,5= 2,4 - 0,5=1,9
у= 0,25*(-3,1)2 - 5= 2,4 - 5=-2,6
у= -0,25*(-3,1)2 + 5= -2,4 + 5= 2,6
у= -0,25*(-3,1)2 + 0,5= -2,4 + 0,5= -1,9
у= -0,25*(-3,1)2 - 4= -2,4 - 4= -6,4
Всё-таки, как видно, при ограничении в 3,1 шага у нас получаются чуть ли не окружности, и это можно допустить, когда параболы соприкасаются со сплошной линией. Но так как правая часть должна быть с пробелами, то мы проведём воображаемую линию на числе 2,8 и отсечём части парабол, находящиеся за ней.
у= 0,25*2,82 + 4= 1,96 + 4=5,96
у= 0,25*2,82 - 0,5= 1,96 - 0,5=1,46
у= 0,25*2,82 - 5= 1,96 - 5=-3,04
у= -0,25*2,82 + 5= -1,96 + 5= 3,04
у= -0,25*2,82 + 0,5= -1,96 + 0,5= -1,46
у= -0,25*2,82 - 4= -1,96 - 4= -5,96
Осталось провести прямые. Нам известны расстояния между концами соприкасающихся парабол.
5,96-3,04=2,92 — так же и для остальных, потому что расстояния одинаковые. Теперь посмотрим на график. Каждая прямая начинается в одной из вышеозначенных точек и заканчивается, не доходя ровно половины до второй точки. При этом она отклоняется на один шаг вправо. Получается, можно узнать две точки для этой прямой, а там и угловой коэффициент.
2,92/2=1,46
5,96-1,46=4,5
Получается, координаты прямой такие: (2,8; 5,96) и (4; 4,5). Пусть координаты (4; 4,5) будут (0;0), тогда координаты (2,8; 5,96) будут (-1,2; 1,46)
у=kx
1,46= -1,2k
k=-1.22
Коэффициент будет отрицательным для убывающих прямых и положительным для возрастающих. Теперь можно найти b для каждого случая.
у=kx+b
5,96= b-1,22*2,8
b= 5,96+3.416=9.376
1,46= b-3.416
b=4.876
-3,04= b-3.416
b=0.376
-5,96= 3.416+b
b=-9.376
-1,46= 3.416+b
b=-4.876
3,04= 3.416+b
b=-0.376
М можно выразить через косинус.
К функции y=cos(x) надо применить несколько магий: стяжения, магию минуса и магию перемещения по вертикали.
Деление происходит так: 00, 300, 450, 900, и на 90градусах х в исходном варианте приобретает значение ноль, а в преобразованном — на 30 градусах, значит, надо стянуть график в три раза. И поднять полученную функцию на две единицы. В итоге выйдет такое уравнение:
33. y = -cos(x*3)+2 Есть у нас второй косинус, сдвинутый чуть вправо. Если считать, что один шаг — это 30 градусов, он же одна клетка, то двигаться будет где-то на пять градусов.
34. y = -cos(x*3-50)+2
6. О
Буква О состоит из двух окружностей:
35. х2+(y-0.25)2=2.25
36. (х-0.2)2+(y-0.25)2=2.25 Как видно из уравнений, одну окружность мы только лишь подняли, а другую сместили к тому же чуть-чуть вправо, чтобы буква О была с широкими краями.
7. Н
Здесь тоже, казалось бы, порядочное количество элементов, однако многие из них простые, как вертикальные прямые, а другие уже известны из прошлых вычислений. Иное дело, что Н и А пересекаются и у них общая горизонтальная часть. Надо посмотреть, где параболы А эту горизонтальную часть пересекают.
Но сначала опишем букву Н:
Четыре вертикальные прямые.
Для неё нужно описать только две параболы:
47. у= -(х - 9)2 +4
48. у= -0,75(х - 9)2 +4
И вот, изображение завершено, и вроде бы каждая буква похожа сама на себя. По крайней мере, узнать можно, а если повертеть надпись так и этак, то и прочитать.
Осталось последнее: дать характеристики функциям.
1. у= -0,5(х + 10)2 + 6
Область определения: [-5;-15]
Множество значений: [6;-6]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастает от [-15;-6] до [-10;6], убывает от [-10;6] до [-5;-6]
Особенности: нет
2. у= -0,75(х + 10)2 + 6
Область определения: [-5,9;-14,1]
Множество значений: [6;-6]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастает от [-14,1;-6] до [-10;6], убывает от [-10;6] до [-5,9;-6]
Особенности: нет
3. у= -0,25(х + 10) 2 + 0,5
Область определения: [-12,55;-7,45]
Множество значений: [-0,5;1,125]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастающе-убывающая
Особенности: нет
4. у= 0,25(х + 10) 2 - 0,5
Область определения: [-13,136;-6,683]
(
Множество значений: [0,5;-2,75]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастающе-убывающая
Особенности: нет
5. y=|-1.11x-6.04|-6,5
Область определения: [-5,9;-5]
Множество значений: [-6;-6,5]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает от [-5,9;-6] до [-5,45;-6,5], возрастает от [-5,45;-6,5] до [-5;-6]
Особенности: нет
6. y=|-1.11x-16.095|-6,5
Область определения: [-14,1;-15]
Множество значений: [-6;-6,5]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает от [-15;-6] до [-14,55;-6,5], возрастает от [-14,55;-6,5] до [-14,1;-6]
Особенности: нет
7. х= -11
Область определения: {-11}
Множество значений: [1; 4]
8. х= -10,8
Область определения: {-10,8}
Множество значений: [3.8; 1]
9. (х+10)2 + (у-4)2=1
Область определения: [-9;-11]
Множество значений: [3;5]
10. (х+9,8)2 + (у-4)2=1
Область определения: [-8,8;-10,8]
Множество значений: [3;5]
11. х= -11
Область определения: {-11}
Множество значений: [-1; -6]
12. х= -10,8
Область определения: {-10.8}
Множество значений: [-1; -6]
13. х= -8,8
Область определения: {-8.8}
Множество значений: [-1; -2.3]
14. х= -8,6
Область определения: {-8.6}
Множество значений: [-1; -2.3]
15. у= (х + 9.8)2 - 2
Область определения: [-10.8; -8.8]
Множество значений: [-1; -2]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает от [-10.8;-1] до [-9.8;-2], возрастает от [-9.8;-2] до [-8,8;-1]
Особенности: нет
16. у= -(х + 9.8)2 - 1
Область определения: [-10.8; -8.8]
Множество значений: [-1; -2]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастает от [-10.8;-1] до [-9.8;-2], убывает от [-9.8;-2] до [-8,8;-1]
Особенности: нет
17. x= -4
Область определения: {-4}
Множество значений: [-6; 6]
18. x= -3.1
Область определения: {-3,1}
Множество значений: [-6; 6]
19. y=|-1.11x-3,94|-6,5
Область определения: [-4;-3,1]
Множество значений: [-6;-6,5]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает от [-4;-6] до [-3,55;-6,5], возрастает от [-3,55;-6,5] до [-3,1;-6]
Особенности: нет
20. y= -|-1.11x-3,94|+6,5
Область определения: [-4;-3,1]
Множество значений: [6;6,5]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастает от [-4;6] до [-3,55;6,5], убывает от [-3,55;6,5] до [-3,1;6]
Особенности: нет
21. у= 0,25х2 + 4
Область определения: [-3.1;2.8]
Множество значений: [4;6,4]
Чётность/нечётность: нет (была бы от -3,1 до 3,1, то стала бы чётной)
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает от [-3,1;6,4] до [0;4], возрастает от [0;4] до [2,8;5,96]
Особенности: нет
22. у= 0,25х2 - 0,5
Область определения: [-3.1;2.8]
Множество значений: [-0,5;1,9]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает от [-3,1;1,9] до [0;-0,5], возрастает от [0;-0.5] до [2,8;1,46]
Особенности: нет
23. у= 0,25х2 - 5
Область определения: [-3.1;2.8]
Множество значений: [-2.6;-5]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает от [-3.1;-2.6] до [0;-5], возрастает от [0;-5] до [2,8;-3,04]
Особенности: нет
24. у= -0,25х2 + 5
Область определения: [-3.1;2.8]
Множество значений: [5;2,6]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастает от [-3.1;2,6] до [0;5], убывает от [0;5] до [2,8;3,04]
Особенности: нет
25. у= -0,25х2 + 0,5
Область определения: [-3.1;2.8]
Множество значений: [0,5;-1,9]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастает от [-3,1;-1,9] до [0;0,5], убывает от [0;0,5] до [2,8;-1,46]
Особенности: нет
26. у= -0,25х2 - 4
Область определения: [-3.1;2.8]
Множество значений: [-6,4;-4]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастает от [-3,1;-6,4] до [0;-4], убывает от [0;-4] до [2,8;-5,96]
Особенности: нет
27. у=1,22х+9.376
Область определения: [2,8;4]
Множество значений: [5,96;4,5]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывающая
Особенности: нет
28. у=1,22х+4.876
Область определения: [2,8;4]
Множество значений: [1,9;0]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывающая
Особенности: нет
29. у=1,22х+0.376
Область определения: [2,8;4]
Множество значений: [-3,04;-4.5]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывающая
Особенности: нет
30. у=-1,22х-9.376
Область определения: [2,8;4]
Множество значений: [4,5;3,04]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастающая
Особенности: нет
31. у=-1,22х-4.876
Область определения: [2,8;4]
Множество значений: [0;-1.9]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастающая
Особенности: нет
32. у=-1,22х-0.376
Область определения: [2,8;4]
Множество значений: [-4.5;-5,96]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастающая
Особенности: нет
33. y = -0.5cos(x*3)+2
Область определения: [-450;450]
Множество значений: [1;3]
Чётность/нечётность: чётная
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастающе-убывающая
Особенности: нет
34. y = -0.5cos(x*3-50)+2
Область определения: [-400;500]
Множество значений: [1;3]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастающе-убывающая
Особенности: нет
35. х2+(y-0.25)2=2.25
Область определения: [-1,5;1,5]
Множество значений: [1;4]
36. (х-0.2)2+(y-0.25)2=2.25
Область определения: [-1,7;1,7]
Множество значений: [1;4]
37. x=5
Область определения: {5}
Множество значений: [6;-6]
38. x=5.9
Область определения: {5.9}
Множество значений: [6;-6]
39. x=12.1
Область определения: {12.1}
Множество значений: [6;-6]
40. x=13
Область определения: {13}
Множество значений: [6;-6]
41. y= -|-1.11x+6.04|+6,5
Область определения: [5;5,9]
Множество значений: [6;6,5]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастает от [5;6] до [5,45;6,5], убывает от [5,45;6,5] до [5,9;6]
Особенности: нет
42. y= |-1.11x+6.04|-6,5
Область определения: [5;5,9]
Множество значений: [-6;-6,5]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает от [5;-6] до [5,45;-6,5], возрастает от [5,45;-6,5] до [5,9;-6]
Особенности: нет
43. y= -|-1.11x+13.93|+6,5
Область определения: [12,1;13]
Множество значений: [6;6.5]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастает от [12,1;6] до [12,55;6,5], убывает от [12,55;6,5] до [13;6]
Особенности: нет
44. y= |-1.11x+13.93|-6,5
Область определения: [5;5.9]
Множество значений: [-6;-6.5]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает от [5;-6] до [5,5;-6,5], возрастает от [5,5;-6,5] до [5,1;-6]
Особенности: нет
45. у= 0,25(х - 0.5)2 -9
Область определения: [5,9;12,1]
Множество значений: [-0,5;1,9]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает от [5,9;1,9] до [0;-0,5], возрастает от [0;-0.5] до [12,1;1,9]
Особенности: нет
46. у= -0,25(х + 0.5)2 -9
Область определения: [5,9;2.8]
Множество значений: [0,5;-1,9]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастает от [5,9;-1,9] до [0;0,5], убывает от [0;0,5] до [2,8;-1,9]
Особенности: нет
47. у= -(х - 9)2 +4
Область определения: [5,9;12,1]
Множество значений: [4;-5,61]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастает от [-5,9;-5,61] до [4;4], убывает от [4;4] до [12,1;-5,61]
Особенности: нет
48. у= -0,75(х - 9)2 +4
Область определения: [5,9;12,1]
Множество значений: [4;-3,2]
Чётность/нечётность: нет
Ассимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастает от [-5,9;-3,2] до [4;4], убывает от [4;4] до [12,1;-3,2]
Особенности: нет
Оценка: 25 Дата сдачи работы: 26.02.2014 Дата проверки: 27.02.2014
Комментарий: Начала читать при получении, сегодня дочитала)
Я довольна Вашей работой. Интересную тему Вы взяли и предложили очень оригинальное решение.
У меня даже мысли заработали, как дальше это можно было бы развить)
Единственный недочёт (достаточно грубая ошибка с точки зрения математики): при указании промежутков Вы часто пишете их как попало, а тут строго считается: слева направо и внизу вверх (так, как стрелочки на осях показывают), от меньшего к большему.
Область определения: [-5;-15] - [-15; -5]
Множество значений: [6;-6] - [-6; 6]
Однако я не буду снижать за это оценку, потому что в основном работа проделана очень кропотливая, и видно, что Вы понимаете то, о чём пишете.
Молодец!
Карта сайта (с) Чжоули
Последние изменения:
17.11.2015
