Jin 1 курс Вуза (Пилвилинн) Магия функций и интегралов
Функции, как волшебный инструмент исскуства.
Волшебного времени суток профессор.
Все в нашем мире создано для красоты, даже порой то, к чему мы относимся пренебрежительно, считая, что в этом нет ничего особенного, под воздействием магии превращается в красоту и искусство.
Возьмем например точку, что это, тфу - песчинка, скажите вы, но нет - если их много, этих песчинок и если они у раках у кудесника мага, то вроде бы маленькие невзрачные точечки могут превратиться в чудесную и сказочную картину:
А вот ещё один пример, побольше - отрезки. Вроде ничего необычного или прекрасного, но если эти отрезки попадут в руки волшебнице-кудеснице, то из простых отрезков может получится настоящее чудо.
Или ещё чуть побольше - плоскостные фигуры. По сути, тоже ну что в них волшебного? Но если они лягут друг на друга и соединятся в определенной последовательности и
ещё и раскрасятся определенными цветами, то вуаля - у нас сумочка, для чудес.
А теперь поговорим о функциях и их графиках. Я думаю, они не чуть не хуже чем плоскости или отрезки у кудесницы, попробуем это доказать:
А доказывать мы будем все на той же сове.
Начнем пожалуй с головы.
Голова нашей совы будет круг, нижняя точка которого будет точка (0,0).
Радиус мы возьмем небольшой, скажем 2 см, для того, что бы наш рисунок не был огромный.
Итак - окружность, центр (0,2), и радиусом 2, это
x^2+(y-2)^2=4
Данную окружность мы получаем из окружности x^2+y^2=4 магией переноса по оси ОУ на 2 единицы вверх.
Что можно сказать об этой окружности: область определения: [-2,2], область значения [0,4] и она четна.
У совы должны быть ушки.
Ушки сходятся в верхней части окружности, значит в точке (0,4), при этом они чуть больше чем голова у совы, а значит, этим ушкам принадлежат ещё точки (3,5) и (-3,5).
Ах да, забыла сказать, что наша совушка будет почти симметрична относительна оси ОУ, для простоты изображения её на плоскости.
Вернёмся к ушкам.
Мы имеем 3 точки (0,4), (3,5) и (-3,5) и по мне, так данная функция должна быть парабола, с вершиной в точке (0,4).
Её вид будет y=k*x^2+4.
Подставив точку (3,5) мы получим, что k=1/9.
Итак, вторая функция y=1/9*x^2+4, определенная на промежутке [-3,3].
Данную параболу мы получаем из функции у=x^2 магией переноса по оси ОУ на 4 единицы вверх, а так же магией расширения по оси ОУ с коэффициентом 1/9.
Что можно сказать о ней: область определения: [-3,3], область значения [4,5], она четна, возрастает на промежутке [0,3], убывает на промежутке [-3,0].
Далее из верхней части ушек к голове должна идти ещё одна функция.
Мы уже знаем у нее точку (3,5) и точку (2,2) которая получилась как самая правая точка окружности.
Тут, я думаю, наилучшим образом подойдет гипербола.
y=k/x+b.
Я сознательно взяла гиперболу без смещения по оси ОХ, так как наша сова симметрична относительно оси ОУ.
Итак, подставив в уравнение 2 точки у меня получилась гипербола:
y=-18/x+11, определенная на промежутке [2,3]
Данную гиперболу мы получаем из функции у=1/x магией отражения от оси ОХ, магией переноса по оси ОУ на 11 единицы вверх, а так же магией расширения по оси ОУ с коэффициентом18.
Что можно сказать о ней: область определения: [2,3], область значения [2,5], возрастает на промежутке [2,3].
Затем отразим данную частичку относительно оси ОУ и вуаля, у нас два ушка.
Нашей совушки не помешают глазки, согласитесь.
Начнем с обводки глазок. Они будут почти окружности, симметричные относительно ОУ, причем центр этой окружности будет лежать на прямой y=2.
Методом научного тыка наилучший центр этой окружности оказалась точка (0.5,2), а радиус нашей окружности будет 1, т.е. функция выглядит так:
(x-0.5)^2+(y-2)^2=1
Но для совы нужна не вся эта окружность, а только та её часть, где x>0, а значит область определения необходимая нам будет [0,1.5]
Данную окружность мы получаем из окружности x^2+y^2=1 магией переноса по оси ОУ на 2 единицы вверх и на 0.5 единиц вправо.
Что можно сказать об этой окружности: область определения: [0,1.5], область значения [1,3] и она четна.
Затем так же делаем отражение относительно оси ОУ и у нас получается идеально совпавшие две половинки.
Теперь сами глазки. Это тоже окружность, центр которой будет чуть-чуть смещен вправо, относительно предыдущего центра и радиус будет вдвое меньше.
Получаем окружность
(x-0.7)^2+(y-2)^2=0.25
Данную окружность мы получаем из окружности x^2+y^2=0,25 магией переноса по оси ОУ на 2 единицы вверх и на 0.7 единиц вправо.
Что можно сказать об этой окружности: область определения: [0.2,1.2], область значения [1.5,2.5] и она четна.
Второй глазик получим так же симметрией.
Теперь зрачки.
Эта единственная часть, которая не будет симметрична, так как наша совушка все-таки будет смотреть в одном направлении.
Зрачки должны располагаться в верхней правой части глазика, и тоже иметь форму окружности, а значит их уравнения будет:
(x-0.95)^2+(y-2.2)^2=0.04 и (x+0.45)^2+(y-2.2)^2=0.04
Первую окружность мы получаем из окружности x^2+y^2=0,04 магией переноса по оси ОУ на 2.2 единицы вверх и на 0.95 единиц вправо.
Что можно сказать об этой окружности: область определения: [0.75,1.15], область значения [2,2.4] и она четна.
Вторую окружность мы получаем из окружности x^2+y^2=0,04 магией переноса по оси ОУ на 2.2 единицы вверх и на 0.45 единиц влево.
Что можно сказать об этой окружности: область определения: [-0.65,-0.25], область значения [2,2.4] и она четна.
Эти окружности надо заштриховать - таким образом мы получим зрачки.
Клювик у совы начинается в точке (0,0.5) и по виду больше всего туда подходит парабола вида y=k*x^2+0.5. Методом перебора я нашла, что самое идеальное k в данном случае это 11.
y=11*x^2+0.5.
Найдем точку пересечения клювика с обводкой глазок.
Для этого воспользуемся сайтом http://www.matcabi.net/equation.php
Получим x1=-0.22, x2=0.22, y=1.04.
Итак, область определения интересующего нам кусочка [-0.22,0.22]
Данную параболу мы получаем из функции у=x^2 магией переноса по оси ОУ на 0.5 единицы вверх, а так же магией расширения по оси ОУ с коэффициентом 11.
Что можно сказать о ней: область определения: [-0.22,0.22], область значения [0.5,1.04], она четна, возрастает на промежутке [0,0.22], убывает на промежутке [-0.22,0].
А дальше нарисуем хохолок, для чего используем y=-a*|cos(k*x)|+b
Область значения -|cos(k*x)| от 0 до -1, но у нашего хохолка она должна быть от 0 до -0,75, а значить -1*a=-0,75, откуда a=0.75.
Мне необходимо 3 горба косинусойды, при этом область его определения [-0.5,0.5]
Если бы k было равно 1, то область определения была бы [-3pi/2,3pi/2], а значит что бы найти k нужно приравнять края области определения.
3pi/2=k*0.5, откуда k=3pi
Так как данной хохолок находится на голове, то b=4.
Получили функцию y=-0.75*|cos(3pi*x)|+4.
Данную косинусоиду мы получаем из функции у=cos(x) магией сжатия с коэффициентом 3pi по оси ОХ, магией модуля, магией отражения от оси ОХ, магией сжатия по оси ОУ с коэффициентом 0,75, а так же магией переноса по оси ОУ на 4 единицы вверх.
Что можно сказать о ней: область определения: [-0.5,0.5], область значения [3.25,4], она четна.
Ну вот и все, перейдем к телу:
Тело совы это овал, но овал эта не функция, поэтому я разделю её на 2 параболы и построю каждую отдельно.
Начнем в верхней части.
Вершина этой параболы точка (0,1), а значит общий вид этой функции y=k*x^2+1.
При этом у данного графика есть ещё точка (3,-3) и (-3,-3), откуда мы можем получить k=-4/9.
Получили функцию y=-4/9*x^2+1.
Вот только нам нужна не вся функция, ведь она пересекает окружность головы.
Найдем точки пересечения:
(-9/4*(y-1))+(y-2)^2=4
Отсюда y=0.47, при этом x1=-1.09 и x2=1.09.
Получается что область определения данной параболы [-3,-1.09]U[1.09,3].
Данную параболу мы получаем из функции у=x^2 магией отражения от оси ОХ, магией переноса по оси ОУ на 1 единицы вверх, а так же магией расширения по оси ОУ с коэффициентом 4/9.
Что можно сказать о ней: область определения: [-3,-1.09]U[1.09,3], область значения: [-3,0,47], она четна, возрастает на промежутке [-3,-1.09], убывает на промежутке [1.09,3].
Теперь нарисуем вторую часть туловища нашей совы.
Для этого используем функцию с противоположном k, чем в предыдущем.
y=4/9*x^2-7.
Вот только и эта функция не полностью будет нарисовала, ведь у совы ещё есть лапки, так что сначала нарисуем их.
Основа лапок парабола с вершиной (1,-6), а значит общий вид функции y=k*(x-1)^2-6.
Так же этим лапкам принадлежат вершины (0.5, -7) и (1.5, -7)
Подставив одну из них в общий вид функции, получим:
y=-4*(x-1)^2-6.
Область определения данной функции [0.5,1.5].
Данную параболу мы получаем из функции у=x^2 магией отражения от оси ОХ, магией переноса по оси ОУ на 6 единиц вниз, на 1 единицу вправо, а так же магией расширения по оси ОУ с коэффициентом 4.
Что можно сказать о ней: область определения: [0.5,1.5], область значения [-7,-6], она четна, возрастает на промежутке [0.5,1], убывает на промежутке [1,1.5].
Ну а коготки будет косинусоида конечно же y=-c*|cos(k*x+a)|+b.
Область определения необходимой мне косинусоиды [0.5,1.5], а должна была быть [-3pi/2,3pi/2], а значит что бы найти k нужно приравнять края области определения.
3pi/2=k*0.5, откуда k=3pi
Область значения -|cos(k*x)| от 0 до -1, но у нашего коготка она должна быть от 0 до -0,25, а значить -1*c=-0,25, откуда с=-0.25.
Ну и перемещение, начало косинусоиды должно было быть в точке (0,0) а для коготка необходимо, что бы оно было в точке (1,-7) откуда получается функция:
y=-0.25*|cos(3pi*(x-1))|-7.
Данную косинусоиду мы получаем из функции у=cos(x) магией сжатия с коэффициентом 3pi по оси ОХ, магией модуля, магией отражения от оси ОХ, магией сжатия по оси ОУ с коэффициентом 0,25, а так же магией переноса по оси ОУ на 7 единицы вниз и на 1 единицу вправо.
Что можно сказать о ней: область определения: [0.5,1.5], область значения [-7.25,-7], она четна.
Для того, что бы нарисовать второй коготок, необходимо получившийся рисунок симметрично отразить относительно оси ОУ.
Теперь вспомним о том, что у нас там тело не дорисовано и найдем все точки пересечения
y=-4*(x-1)^2-6 и y=4/9*x^2-7.
При решении данной системы получим 2 точки x1=0.53 и x2=1.27.
Так как второй коготок симметричен, то там точки x1=-0.53 и x2=-1.27.
Откуда вторая часть тела совы будет y=4/9*x^2-7, а область его определения [-3,-1.27]U[-0.53,0.53]U[1.27,3].
Данную параболу мы получаем из функции у=x^2 магией переноса по оси ОУ на 7 единиц вниз, а так же магией расширения по оси ОУ с коэффициентом 4/9.
Что можно сказать о ней: область определения: [-3,-1.27]U[-0.53,0.53]U[1.27,3], область значения: [-7,-3], она четна, возрастает на промежутке [0,0.53]U[1.27,3], убывает на промежутке [-3,-1.27]U[-0.53,0].
Теперь крылья. Так же как и тело совы это будет 2 параболы (да-да это моя любимая и на мой взгляд самая красивая функция).
Одна из них имеет вершину (0,2) и ей принадлежат точки (4.5,-3) и (-4.5,-3).
Подставив эти точки в общий вид параболы получим функцию y=-20/81*x^2+2.
Крылышки начинаются из головы, а значит необходимо найти точки пересечения данной параболы и окружности головы.
С помощью сайта https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/equal-one/any-uravnenie/?X=x&solve=4*y*y-21*y%2B9%3D0&a0=-10&b0=10 получим y=1.18, а x1=1.82, x2=-1.82.
Получается, область определения нашей функции [-4.5,-1.82]U[1.82,4.5]
Данную параболу мы получаем из функции у=x^2 магией отражения от оси ОХ, магией переноса по оси ОУ на 2 единицы вверх, а так же магией расширения по оси ОУ с коэффициентом 20/81.
Что можно сказать о ней: область определения: [-4.5,-1.82]U[1.82,4.5], область значения: [-3,1,18], она четна, возрастает на промежутке [-4.5,-1.82], убывает на промежутке [1.82,4.5].
Вторая половинка крыльев это парабола с вершиной (0,-6), и точки принадлежащие этой параболы (4.5,-3) и (-4.5,-3).
В результате подстановки получим y=4/27*x^2-6.
С обоих сторон совы она заканчивается телом, а значит необходимо найти точки пересечения функции y=4/27*x^2-6 и y=4/9*x^2-7.
Опять воспользовавшись чудосайтом найдем, что x1=1.84, а x2=-1.84, а значит область определения необходимой функции [-4.5,-1.84]U[1.84,4.5]
Данную параболу мы получаем из функции у=x^2 магией переноса по оси ОУ на 6 единиц вниз, а так же магией расширения по оси ОУ с коэффициентом 4/27.
Что можно сказать о ней: область определения: [-4.5,-1.84]U[1.84,4.5], область значения: [-5.5,-3], она четна, возрастает на промежутке [1.84,4.5], убывает на промежутке[-4.5,-1.84].
Ну и остались мелочи - пёрышки.
Их будет 6 и сделаем мы их с помощью модуля, используя смещение по оси ОХ и ОУ.
y=|x|-2.5 определенная на интервале [-0.5,0.5], область значения [-2.5,-1.5].
y=|x+1.5|-2.5 определенная на интервале [1,2] , область значения [-2.5,-1.5].
y=|x-1.5|-2.5 определенная на интервале [-2,-1], область значения [-2.5,-1.5].
y=|x+1|-4 определенная на интервале [0.5,1.5], область значения [-4,-3].
y=|x-1|-4 определенная на интервале [-1.5,-0.5], область значения [-4,-3].
y=|x|-5.5 определенная на интервале [-0.5,0.5], область значения [-5.5,-4.5].
Как то не красиво получилось, думаю стоит добавить к этим перышкам верхушку:
y=0.5*|x|-2 определенная на интервале [-0.5,0.5], область значения [-2,-1.5].
y=0.5*|x+1.5|-2 определенная на интервале [1,2], область значения [-2,-1.5].
y=0.5*|x-1.5|-2 определенная на интервале [-2,-1] область значения [-2,-1.5].
y=0.5*|x+1|-3.5 определенная на интервале [0.5,1.5], область значения [-3.5,-3].
y=0.5*|x-1|-3.5 определенная на интервале [-1.5,-0.5], область значения [-3.5,-3].
y=0.5*|x|-5 определенная на интервале [-0.5,0.5], область значения [-5,-4.5].
Все эти модули (y=с*|x+a|-b)мы получили из функции y=|x|, посредством параллельного переноса по оси ОX на а единиц влево и по оси ОУ на b единиц вниз, а так же сжатием по оси ОХ с коэффициентом с.
А вот и сама совушка...
Вот так я считаю что функции это красивейший и волшебнейший инструмент, который умеет творить настоящее искусство.
Спасибо за шикарное воскресенье с магией функций.
С уважением, Джин 1 курс ВУЗа.
Оценка: 25 Дата сдачи работы: 24.11.2015 Дата проверки: 27.11.2015
Комментарий: Очень кропотливая работа выполнена. Браво!
Достойное завершение первого модуля.
Карта сайта (с) Чжоули
Последние изменения:
17.11.2015
