Intar 1 курс Вуза (Пилвилинн) Магия функций и интегралов
Умеют ли функции рисовать?
ВВЕДЕНИЕ Все в этом умеют рисовать. Рисуют художники маслом на холсте, карандашом или акварелью, рисует ребенок на обоях, а если родители успеют, то и в альбоме, рисует мороз, разукрашивая своими узорами стекла домов и поверхность пруда, рисует осень, раскрашивая все деревья разноцветными красками, рисует поток воды, оставляя на земле причудливый след, рисует ветер, создавая из облаков необыкновенные образы, рисует солнышко после дождя на небе радугу, рисует ночь, отражая на поверхности озера небесные светила. А могут ли рисовать функции? Именно на этот вопрос мы и попробуем ответит в нашей работе.
На координатной плоскости существует много различных кривых и некоторые из них сами по себе претендуют быть названными художниками. Например, фракталы.
Но в данной работе речь пойдет не о них. Нас будут интересовать лишь элементарные функции. Смогут ли они что-то изобразить на координатной плоскости?
Таким образом, объектом нашего исследования становятся графики элементарных функций и их магические преобразования. В качестве основы для творчества функций возьмем следующие элементарные функции: y=kx+b (график прямая); y=xn; y=sin, а так же окружность, которая не является функцией. Для расширения творческих возможностей функций используются такие преобразования как магия перемещение, магия сжатия, магия отражения (или модуля), магия зазеркалья (или минуса).
Цель работы, показать, что с помощью элементарных функций и их магических преобразований можно изобразить на координатной плоскости рисунок.
РИСУНОК, СДЕЛАННЫЙ ФУНКЦИЯМИ Функции могут многое, и в этом легко убедиться, узнав их немого ближе. Не составляет для них труда и изобразить рисунок, главное подсказать, а что мы хотим получить. Немного магии преобразования и рисунок предстанет перед нами. Но обо всем по порядку.
В качестве объекта для творчества функций возьмем сбежавшего из Пилвилинна пингвиненка. Спешить ему некуда и он любезно согласился по позировать.
Рисуем тело Тело пингвиненка имеет форму овала. Причем верхняя его часть более заостренная, чем нижняя. Разобьем ее на такие две части (верхнюю и нижнюю) и подумаем, какой функции предоставить возможность изобразить каждую из частей.
Часть овала напоминает часть параболы. Вот и дадим возможность первой показать свои способности квадратичной функции. Ветви у этой параболы должны быть направлены вниз, а значит, на эту параболу действует магия минуса. И для удобства построения применим еще к ней магию перемещения вверх на 4 единицы. Таким образом, первый наш «художник» обзавелся «лицом»:
y = -x2+4 (1)
Изобразим график этой функции.
Однако нам не нужен весь график, а лишь его часть, так как парабола бесконечно уходит вниз. Отбросив часть ветвей параболы, расположенных ниже оси ОХ, мы получим первый штрих на нашем «холсте».
Но прежде, чем продолжить, найдем, какими же точками ограничивается наша функция (1).
Для этого надо решить уравнение -x2+4=0. Откуда x=2 и -2. То есть параболу мы рассматриваем только на промежутке [-2, 2], а точки ограничения (2,0) и (-2, 0).
Нижняя часть – это вроде тоже может быть параболой, однако можно заметить, что пузико пингвиненка ближе прижато к земле, чем можно это изобразить параболой. Но тогда стоит вспомнить, откуда она родом, то есть о степенных функциях. Сразу приходит на ум функция y= x4. Правильная функция, но здесь очень резко уходят вверх ветви, что тоже не подходит для изображения нашего пингвиненка. Тогда остается что-то между ними - y= x3. Но эта функция нечетна? А наш рисунок должен быть симметричен, то есть функции четными. И тут призовем на помощь магию модуля. То есть перед нами функция у= |x3|. На оси ОХ закончила художества функция (1), значит эта должна начинаться ниже, например на 2 единицы. То есть должно быть применено заклинание, перемещающее нашу функцию вниз. А это заклинание вычитания 2: у = |x3|- 2. И последнее, тело пингвиненка не имеет никаких разрывов, а значит и функция должна проходить через выделенные ранее точки (2,0) и (-2, 0). Что же поможет нам с функцией на этот раз? А здесь за дело возьмется магия сжатия или магия коэффициента. То есть функция должна иметь вид у = k | x3|- 2 (2*). Найдем это число k, для чего подставим одну их наших точек в (2*). Получим
0= k | 23|- 2
2 = k * 8
k=1/4.
То есть перед нами уже вырисовывался второй художник
у = 1/4 | x3|- 2 (2).
Изобразим эту функцию используя магию преобразований
у = x3 --> у = | x3| --> у = 1/4 | x3| --> у = 1/4 | x3|- 2
(Функции построены последовательно на одной плоскости последовательным применением определенной магии и подписаны. Цвет надписи совпадает с цветом графика. Итоговая функция оранжевая)
Теперь нанесем штрих этой функции на «холст», предварительно отбросив не нужное (то что правее 2 и левее -2). Получаем
Таким образом, две функции изобразили на координатной плоскости тело пингвиненка.
Рисуем голову Голову пингвиненка мы доверим рисовать окружности. Определим, а какой именно окружностью она должна быть. Для чего найдем центр окружности и радиус. Так как самая верхняя точка тела располагается в точке (0, 4), то эта точка будет у нас нижней точкой головы.
В самом «толстом» месте (в месте пересечения функций) наше нарисованное тело имеет ширину 4 единицы (от -2 до 2). Что бы голова смотрелась пропорционально – она должна быть раза в два меньше тела, то есть 2 единицы. Но 2 – это ширина или диаметр, а радиус окружности тогда возьмем 1.
Таким образом, сдвигая точку соприкосновения тела с головой на радиус вверх, получаем, что центр головы приходиться на точку (0, 5). Теперь у нас есть интересующие нас данные и обязанности за рисования головы передаем окружности:
х2+(y-5)2=1 (3)
Теперь на голове нам не хватает двух глаз и клюва.
Глаза вполне могут быть точками. Но какие же функции способны изобразить точки? Но точка, когда мы ее рисуем, это маленькая окружность, очень-очень маленькая. А что если и взять уравнение окружности при нулевом радиусе?
Но определим, где конкретно должны располагаться глаза? Во-первых они должны быть симметричны, и располагаться чуть выше середины лица, то есть точки (0,5) и не дальше чем половина радиуса. Возьмем, к примеру, 1/3. То есть глаза, это точки с координатами (1/3; 21/4) и (-1/3; 21/4).
То есть наши вырожденные окружности:
Правый глазик: (х-1/3)2+(y-21/4)2=0 (4)
Левый глазик: (х+1/3)2+(y-21/4)2=0 (5)
И действительно, эти точки ((1/3; 21/4) – для (4) и (-1/3; 21/4) – для (5)) единственные, в которых наши равенства превращаются в верные. Значит, эти точки соответственно являются графиками этих уравнений. Вот мы и нашли художников для глаз.
На очереди клюв.
Клюв помогут изобразить прямые.
Пусть наш пингвиненок смотрит направо. Тогда одна из наших прямых должна «наклоняться вниз», т.е. иметь отрицательный коэффициент. Возьмем за основу, например, y=-x. Клювик должен начинаться в центре головы, а значит к нашей прямой необходимо применить заклинание переноса вдоль оси ОУ на 5 единиц вверх, т.е. y=-x+5 (6). Осталось ограничить нашу прямую. С лева конечной точкой будет конечно же центр головы (0,5). А вот с права... А для этого нарисуем вторую часть клювика. Пусть ей будет горизонтальная прямая. Общий вид этой прямой у=b. Но нам нужна конкретная прямая. Что бы клювик хорошо смотрелся пусть она проходит через точку (0; 4,5), т.е. у=4,5 (7). И эта прямая слева ограничена точкой (0; 4,5). А вот справа, что бы получить действительно клювик, эти две прямые должны сходится в одной точке. Вот и найдем точку пересечения прямых (6) и (7), для чего приравняем правые части функций.
-х+5=4,5
х=0,5
При таком х у= 4,5. Значит точка, ограничивающая справа это (0,5; 4,5) для обоих прямых. Или можно сказать, что наши прямые определены на отрезке [0; 0,5].
Изобразим их на нашем «холсте»
Рисуем крылья Мы добрались до крыльев. Пусть у нашего пингвиненка крылья будут распахнуты.
Крылья будут состоять из двух кривых. Одна из них должна проходить через верхнюю часть тела. Если вспомнить, что эта часть тела представляет собой параболу, то и крылья можно изобразить этой же функцией, только по сравнению с телом более растянута вдоль оси ОХ. (Отметим, что для параболы магия сжатия вдоль оси ОХ легко заменяется магией растяжения вдоль оси ОУ, а последнее искать несколько проще.)
И прежде чем искать художников на крылья, решим, в какой точке на плоскости будут эти крылья заканчиваться, а функции их рисующие соединятся. В силу пропорций тела и крыльев пингвиненка выберем для этой цели точку (4, 2). А так как наш пингвиненок симметричен относительно ОУ, то второй такой точкой будет (-4, 2).
Ищем наши функции для рисования крыльев в виде y=kx2+b.
Крылышки растут в верхней части тела и, как уже говорилось выше проходят через верхнюю точку тела, то есть точку (0, 4). Значит за b для первой функции прячется число 4.
y=kx2+4
А вот что бы найти, какую силу заклинания сжатия применить к функции и найти k, вспомним, что мы хотели, что бы функция прошла через точку (4, 2), подставим в полученную функцию х=4, а у=2.
2=k* 42+4
-2=16k
k=-1/8.
А вместе с силой заклинания всплыло и необходимость применения еще одно вида магии – магии зазеркалья или магия минуса. Почему? Но по задумки наши крылышки должны смотреть вниз, так и ветви у рисующей их параболы тоже должны смотреть вниз, а значит k и должен быть отрицателен.
y=-1/8x2+4 (8)
Для построения воспользуемся цепочкой магических преобразований: магия сжатия вдоль оси ОY, магия зазеркалья (минуса), магия перемещения вдоль оси OY
y=x2 --> y=1/8x2 --> y=-1/8x2 --> y=-1/8x2+4
Так как наши крылышки не тонкие, необходима вторая парабола, вершина которой будет находиться ниже, чем у первой. Пусть это будет точка (0,3), а b тогда будет равно 3.
y=kx2+3
И здесь найдем силу магии для сжатия аналогично.
2=k* 42+3
-1=16k]
k = -1/16
y=-1/16x2+3 (9)
Для построения воспользуемся цепочкой магических преобразований: магия сжатия вдоль оси ОY, магия зазералья (минуса), магия перемещения вдоль оси OY
y=x2 --> y=1/16x2 --> y=-1/16x2 --> y=-1/16x2+3
Казалось бы уже можно переносить наш холст, только обрезать по заранее оговоренным точкам (4,2) и (-4,2). С верхней частью крыльев именно так и можно поступит. А вот нижняя пересекает наше тело и требуется это пересечение исключить.
А для этого найдем точки пересечения двух функций (9) и (1)
-x2+4= -1/16x2+3
x2 -1/16x2 = 4-3
15/16 x2=1
x2=16/15
x=+4/sqrt15 и x=-4/sqrt15 (что примерно равно 1 и -1). То есть из нашего графика выбросим ту часть, которая будет между чисел -1 и 1
А теперь перенес наши части крылышек на «холст».
Рисуем лапы Вот теперь нашему пингвиненку не хватает лапок. А лапки мы доверим нарисовать функции синус. Но, синус функция нечетная, а пингвиненок симметричен относительно оси и все используемые функции (кроме глаз и клювика) четные. Значит и для лапок нам нужна четная функция. А под силу такое магии модуля. То есть будем использовать функцию y=|sin x|. Но график такой функции - это много-много кочек, а нам для пингвиненка нужны только 2. Поэтому и рассматривать функцию будем на 2-х периодах - от -пи до пи (так как 1 кочка это 1 период). Вспомнив, что пи это примерно 3, и такие лапы явно великоваты для пингвиненка, применим к функции магию сжатия вдоль оси ОХ в 2 раза. Это преобразование накладывается на х, достаточно умножить его на 2.
y=|sin 2 x|
Теперь лапки очень высокие. И опять же уменьшить поможет магия сжатия, только по оси ОУ.
y=1/2|sin 2 x|
И теперь останется спустить наши лапки к нижней точки тела, т.е. на перенос на 2 единицы вниз.
Таким образом, получаем художника для лапок
y=1/2|sin 2 x|-2 (10)
Используя описанное преобразование, изобразим функцию, но будем изображать только на одном периоде синуса 2пи.
А теперь получившийся штрих требуется нанести на "холст"
И что мы видем? за лапками видно пузико. Надо это исправить, ограничив нижнюю часть тела. НО для этого требуется найти точки пересечения и решить уравнение
1/2|sin 2 x|-2= 1/4 | x3|- 2
Однако это уравнение решить не так просто. Но по графику видно, что это примерно 1,1 и -1,1.
Тогда из изображения функции (2) сотрем график на интервале (-1,1; 1,1)
Теперь лапки надо дорисовать снизу. С этим как раз справиться прямая, параллельная оси ОХ изображенная на том же промежутке что и лапки [-п/2; п/2]
у=-2 (11)
И вот у нас на "холсте" самый настоящий пингвиненок!
Сходство портрета Рисунок сделан, и осталось убедиться, что что-то общего с оригиналом у него есть.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ В работе было получено изображение пингвиненка, составленного из частей графиков функций, что наглядно показывает, что и функции умеют рисовать.
ПРИЛОЖЕНИЕ. СВОЙСТВА ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ 1. y = -x2+4 Область определения: [-2, 2]
Область значений: [0, 4]
Четность: четная
Возрастание/убывания: возрастает на (-2,0), убывает на (0,2)
2. у = 1/4 | x3|- 2 Область определения: [-2; -1,1] и [1,1; 2] (значение 1,1 и -1,1 взято приближенно)
Область значений: [-1,6; 0] (значение -1,6 взято приближенно)
Четность: четная
Возрастание/убывания: убывает на (-2;-1,1), возрастает на (1,1; 2)
3. х2+(y-5)2=1 Эта кривая не является функцией.
Область определения: [-1, 1]
Область значений: [4, 6]
4. (х-1/3)2+(y-21/4)2=0 Область определения:{1/3}
Область значений: {21/4}
Четность: не обладает
Возрастание/убывания: нет
5. (х+1/3)2+(y-21/4)2=0 Область определения: {-1/3}
Область значений: {21/4}
Четность: не обладает
Возрастание/убывания: нет
6. y=-x+5 Область определения: [0; 0,5]
Область значений: [4,5; 5]
Четность: не обладает
Возрастание/убывания: убывает на всей области определения.
7. у=4,5 Область определения: [0; 0,5]
Область значений: {4,5}
Четность: не обладает
Возрастание/убывания: функция постоянная, не убывающая и не возрастающая.
8. y=-1/8x2+4 Область определения: [-4; 4]
Область значений: [2; 4]
Четность: четная
Возрастание/убывания: возрастает на (-4; 0) и убывает на (0, 4)
9. y=-1/16x2+3 Область определения: [-4; 4/sqrt15] и [4/sqrt15; 4]
Область значений: [2; 3]
Четность: четная
Возрастание/убывания: возрастает на (-4; 4/sqrt15) и убывает на (4/sqrt15; 4)
10. y=1/2|sin 2 x|-2 Область определения: [-п/2; п/2]
Область значений: [-2; -1,5]
Четность: Четная
Возрастание/убывания: Возрастает на каждом из интервалов (-п/2; -п/4) и (0; п/4) и убывает на (-п/4; 0) и (п/4; п/2)
11. у=-2 Область определения: [-п/2; п/2]
Область значений: {-2}
Четность: четная
Возрастание/убывания: функция постоянная, не убывающая и не возрастающая.
Примечания: 1.Области определения и значения указаны для области построения рисунка.
2. Периодичности нет ни у одной функции, поскольку периодичность может возникнуть только у функций с бесконечной областью определения, а у всех используемых функций область определения ограничена отрезком.
3. Ни одна функция не имеет асимптот, потому что асимптоты возникают при стремлении какой то переменной в бесконечность, а наши функции ограничены.
Оценка: 25
Комментарий: Браво! Ваши функции рисуют великолепно. Очень хорошая подборка функций на роль художников.
Все исследования проведены на высшем уровне.
Спасибо за работу в первом модуле!
Карта сайта (с) Чжоули
Последние изменения:
17.11.2015
