Хюльдра 1 курс Вуза (Кранног) Магия функций и интегралов
Странный заяц в полнолуние
Здравствуйте, профессор Чжоули!
В качестве курсовой в этот раз я решила нарисовать портрет моего друга Паффнутия после превращения в полнолуние. Сначала распишу функции, которыми образован этот рисунок, а потом уже покажу что получилось. В данном случае так удобнее.
Сразу оговорюсь, что для удобства построения и расчетов я принимаю п=3, а не 3,14. Так что если я пишу что-то вроде sin(3)=0 – это не бред и не ошибка. Это такое упрощение.
Зайца я научилась рисовать давно, попробую сделать это с помощью функций.
Сначала щечки. Их образуют 2 функции
y=3sin(x) и y=-3sin(x)
на промежутке от 0 до 6 включительно
Первая функция образует верхнюю часть левой щечки и нижнюю часть правой. Вторая функция образует нижнюю часть левой щечки и верхнюю часть правой.
Область определения вообще для этих функций – вся числовая прямая, но в нашем случае только указанный промежуток.
Область значений для функции синус [-1;1], а если синус умножается на 3, как в нашем случае, то [-3;3].
Обе функции периодические, период равен 2п, то есть в нашем случае 6. И мы берем для рисунка ровно один период.
Функция имеет промежутки возрастания и убывания. В нашем случае первая функция возрастает на промежутке от 0 до 1,5, убывает на промежутке от 1,5 до 4,5 и снова возрастает на промежутке от 4,5 до 6. Вторая функция убывает на промежутках возрастания первой функции и возрастает на промежутках убывания первой функции.
К функции синуса была применена магия растяжения вдоль оси ОУ в 3 раза, а также магия минуса для получения второй функции. Магия минуса дает зеркальное отображение относительно оси ОХ.
Теперь самое простое – зрачки глаз. Сразу напомню, что это не функции, а потому об области определения и области значений речи быть не может. Это прямые
х=1,5 и х=4,5
Нас интересуют в обоих случаях отрезки для у от 3 до 7.
Теперь рисуем глаза
Начнем с левой стороны левого глаза. Нам нужно провести прямую через 2 точки. Одна из них определяется как верхний конец левого зрачка. Это точка (1,5;7). Вторая точка находится в х=1. sin(1)=sqrt(3)/2=0,9. 3sin(1)=2,7. То есть вторая точка (1;2,7).
Вспоминаем, что самая удобная запись прямой у=kx+b. Подставим в это уравнение наши точки и получим систему уравнений, которую и решим
1,5k+b=7
k+b=2,7
b=2,7-k
1,5k+2,7-k=7
0,5k=4,3
k=8,6
b=2,7-8,6=-5,9
Получается прямая
у=8,6х-5,9
И нас интересует промежуток от 1 до 1,5.
Теперь правая сторона левого глаза. Это прямая, проходящая через точки (1,5;7) и (2;2,7)
1,5k+b=7
2k+b=2,7
b=2,7-2k
1,5k+2,7-2k=7
-0,5k=4,3
k=-8,6
b=2,7+17,2=19,9
Получаем прямую
у=-8,6х+19,9
И нас интересует промежуток от 1,5 до 2.
Теперь левая сторона правого глаза. Это прямая, проходящая через точки (4,5;7) и (4;2,7)
4,5k+b=7
4k+b=2,7
b=2,7-4k
4,5k+2,7-4k=7
0,5k=4,3
k=8,6
b=2,7-34,4=-31,7
Получаем прямую
у=8,6х-31,7
И нас интересует промежуток от 4 до 4,5.
И наконец правая часть правого глаза. Это прямая, проходящая через точки (4,5;7) и (5;2,7)
4,5k+b=7
5k+b=2,7
b=2,7-5k
4,5k+2,7-5k=7
-0,5k=4,3
k=-8,6
b=2,7+43=45,7
Получаем прямую
у=-8,6х+45,7
И нас интересует промежуток от 4,5 до 5.
Область определения для прямой – все числа, а для каждой конкретной функции в нашем случае – указанный промежуток.
Область значений для прямой – все числа, а для всех наших прямых – промежуток от 2,7 до 7.
Первая и третья прямая – возрастающие функции, на что указывает положительный коэффициент при х. Вторая и четвертая прямая – убывающие функции, на что указывает отрицательный коэффициент при х.
Все четыре прямые получены из прямой у=х.
Для получения первой и третьей функции исходную прямую наклонили на угол, тангенс которого равен 8,6, то есть примерно на 83-84 градуса. Затем для получения первой прямой график сместили вниз по оси ОУ на 5,9, а для получения третьей прямой – также вниз на 31,7.
Для получения второй и четвертой функции к исходной функции сначала применили магию минуса, отобразив ее зеркально относительно оси ОХ. Затем наклонили на угол, тангенс которого равен 8,6. Почему не -8,6? А потому что минус мы уже применили. В принципе, можно сначала повернуть, а потом уже применять минус, если так нагляднее. Затем вторую прямую сместили по оси ОУ вверх на 19,9, а четвертую на 45,7.
Теперь рисуем голову зайца, ее макушку. Для этого понадобится парабола. Вот здесь все изменения проведем постепенно и получим необходимую функцию.
Итак, самая простая парабола
у=х^2
Нас она не устраивает, потому что ветви должны смотреть вниз, а потому применяем магию минуса
у=-х^2
Теперь имеем ту же параболу, но вверх ногами. Ее вершина предполагается в точке (3;10). А это значит, что нам надо сместить всю параболу на 3 вправо по оси ОХ (прибавить -3 к х перед возведением в квадрат) и на 10 вверх по оси ОУ (прибавить 10 уже к квадрату). Получаем
у=-(х-3)^2+10
Но и это еще не все. Нам надо, чтобы нули у этой параболы были в точках (0;0) и (6;0)
(х-3)^2=10
x-3=+-3,16
x=+-6,16
Не получается. Зато сразу видно, что параболу надо делать уже. А значит, коэффициент перед квадратом должен быть по модулю больше 1. Имеем уравнение с одной переменной
-а(0-3)^2+10=0
-9a=-10
a=1,1
Получаем параболу
у=-1,1(х-3)^2+10
Или в общем виде
у=-1,1х^2+6,6x+0,1
Область определения параболы вообще – вся числовая прямая, нашей параболы – от 0 до 6.
Область значений параболы в нашем случае от 0 до 10.
Парабола возрастает на промежутке от 0 до 3 и убывает на промежутке от 3 до 6.
Теперь уши. Я покажу, как построила правое ухо. Левое ухо получаем переносом правого влево на некоторое количество единиц. То есть функции получаем таким образом, а промежуток определим уже после переноса. Каждое ухо образовано двумя параболами.
Начнем с правого уха. Верхняя линия – парабола с вершиной в точке (9;12). Ветви направлены вниз, потому перед квадратом ставим минус. Переносим всю функцию на 9 вправо по оси ОХ (добавляем -9 перед возведением в квадрат) и на 12 вверх по оси ОУ (добавляем 12 после квадрата). Получаем
у=-(х-9)^2+12
или
у=-х^2+18х-69
Нижняя линия – парабола с вершиной в точке (9;11). Ветви направлены вниз, потому перед квадратом ставим минус. График и запись функции получаем аналогично предыдущему, но смещаем вверх на 11 по оси ОУ.
Но если оставить функцию в таком виде, она никогда не пересечется с верхней линией, а нам надо пересечение. Поэтому расширим эту параболу и умножим возведенное в квадрат на 1/2. Получаем
Подставим эти значения в первую функцию и найдем у
у1=-(10,4-9)^2+12=-1,4^2+12=-1,96+12=10,04 для удобства построения возьмем 10
у2 такой же – это же парабола
Получается, что нижняя парабола имеет область определения от 7,6 до 10,4 и область значений от 10 до 11. Возрастает на промежутке от 7,6 до 9 и убывает на промежутке от 9 до 10,4. Ветви симметричны относительно прямой х=9.
Теперь что касается верхней прямой. С правым концом области определения понятно. Левым концом ее будет точка пересечения с параболой, образующей голову. Получаем
-(х-9)^2+12=-1,1(х-3)^2+10
1,1(х-3)^2-(х-9)^2+2=0
1,1х^2-6,6х+9,9-х^2+18x-81+2=0
0,1x^2+11,4x-69,1=0
x^2+114x-691=0
При помощи артефакта получаем два корня 5,8 и -119.
Получаем область определения от 5,8 до 10,4.
y=-1,1(5,8-3)^2+10=-1,1*7,84+10=1,4
Область значений от 1,4 до 12.
Функция возрастает на промежутке от 5,8 до 9 и убывает на промежутке от 9 до 10,4.
Теперь рисуем левое ухо. Вершина его верхней линии в точке (-3;12), а нижней в точке (-3;11). Эти функции получаем переносом предыдущих двух на 12 влево по оси ОХ. Значит, надо в предыдущих двух прибавить по 12 к х перед возведением в квадрат. Получаем функции
Верхняя
у=-(х+3)^2+12
или
у=-х^2-6x+3
Нижняя
у=-(х+3)^2/2+11
или
у=-х^2/2-3x+6,5
Ветви смотрят вниз в обоих случаях.
Область определения для нижней функции легко получить вычитанием 12 из концов области определения нижней линии правого уха. Область определения нижней функции от -4,4 до -1,6. Область значений такая же, как у нижней линии правого уха – от 10 до 11. Функция возрастает на промежутке от -4,4 до -3 и убывает на промежутке от -3 до -1,6.
Левый конец области определения для верхней функции будет таким же, как и для нижней. А правый будет симметричен левому концу области определения верхней линии правого уха относительно прямой х=3. Получаем область определения от -4,4 до 0,2.
Область значений такая же, как у верхней линии правого уха – от 1,4 до 12. Функция возрастает на промежутке от -4,4 до -3 и убывает на промежутке от -3 до 0,2.
И наконец вот он – рисунок
Оценка: 25 Дата сдачи работы: 24.11.2014 Дата проверки: 27.11.2014
Комментарий: Молодчина! Всё очень грамотно сделано)
Карта сайта (с) Чжоули
Последние изменения:
17.11.2015
