Эленнарэ Анари 1 курс Вуза (Арцис) Магия функций и интегралов
Освоение элементарных видов магии преобразования функций на примере четырёхлистного клевера
Введение
Четырёхлистный клевер – это клевера с по крайней мере одним четырёхпластинчатым листом, в отличие от обычных трёхпластинчатых. В западной традиции существует поверье, что такое растение приносит удачу нашедшему, в особенности если оно найдено случайно[1].
Существует несколько «распределений» сил для каждой из пластиной такого клевера. Согласно одному из них, первая символизирует надежду, вторая – веру, третья – любовь, а четвёртая – удачу саму по себе. По другой версии - один лепесток для славы, один лепесток для богатства, один лепесток для любви и один - для здоровья[2].
По некоторым данным, наиболее сильны его магические свойства в лунную ночь, дни солнцестояния и равноденствия, особенно в ночь на Ивана Купалу с 6 на 7 июля. К его свойствам относят отвод бед, сглазов, порчи, приворотов – одним словом, общую защиту и счастье и удачу поклонившегося и сорвавшего его человека[3].
За основу для графика взята форма, найденная на пыльных полках одного нумизмата[4].
Магия преобразования функции: теоретические данные
Магия преобразования любых функций подчиняется определённым правилам — последовательности и порядку. Соблюдение этих правил обеспечивает стабильность совершаемых преобразований — и их реализуемость.
В общем виде любую функцию можно представить в виде y = k * (c * x + a) + b, где a, b, c и k — некоторые коэффициенты, свои для каждой функции. Эти коэффициенты и определяют положение (и преобразование) графика этой функции в системе координат, а если экстраполировать, то и положение тела в пространстве. Однако мы рассматриваем упрощённую двумерную схему графического отображения функции, и пространственную реализацию затрагивать не будем.
Прежде, чем подвергнуть графическое отображение нашей функции (а, следовательно, и саму функцию, и то, что она отображает — в целом), следует определить, к какому типу она принадлежит, и построить график исходной функции — для наглядности. Опытные маги, конечно, могут делать это в уме (да и проводить все необходимые преобразования тоже). Собственно, сам факт построения материального - на пергаменте или ещё какой поверхности - далеко не обязателен.
Теперь о самих магических преобразованиях функции. В первую очередь изменению подвергается аргумент функции — x, и, соответственно, работает коэффициент с. Он отвечает за расширение и сжатие исходной функции к оси OY; если |с| > 1, то график прижимается к оси ординат, если |c| < 1 — наоборот, стремится к оси абсцисс. Если же ко всему прочему с < 0, то график отражается относительно оси OX. Фактически, коэффициент с отражает трансформацию предмета, отображением которого является функция, при неизменном положении в пространстве, а также его ориентацию относительно гипотетических верха и низа.
Затем в силу вступает коэффициент а. Он отражает перемещение графика относительно оси OY по горизонтали — вдоль оси OX. Причём если a >0, то график сдвигается влево, а если a < 0 — вправо. Коэффициент а — один из двух основных, определяющих возможность физического перемещения — сперва в координатах, а затем и в реальности; конкретно он отвечает за горизонтальный перенос параллельно поверхности, на которой находится маг.
Следующим «срабатывает» коэффициент k. Его действие в абсолюте схоже с действием коэффициента с, но применимо к уже перемещённой по горизонтали функции. Конечно, можно преобразовать коэффициенты аргумента х: с * х + а = с * (х + а/с), но не всякая функция позволяет ограничиться такими простыми преобразованиями, да и бывает проще рассмотреть магию сжатия-расширения-отражения дважды, чем мучиться с выведением единого коэффициента.
Последним, завершающим штрихом магии функций является влияние коэффициента b. Он родственен коэффициенту а, но отвечает за вертикальный перенос — вдоль оси OY и относительно оси OX. Если b > 0, то график функции перемещается вверх, а если b < 0 — то вниз[5].
Анализ функций
Для начала разобьём фигуру, которую хотим получить, на части – элементы графиков известных нам функций. Таким образом, мы получаем 16 гипотетических уравнений. Отметим, что, поскольку фигура у нас симметрична и относительно оси OX, и относительно оси OY, большую часть этих функций можно получить взаимным магическим преобразованием.
Более того, при детальном изучении четырёхлистного клевера, разбитого по контуру на 16 отрезков, можно сделать вывод, что в итоге для создания этой фигуры использовали всего две разные функции, подвергнутые различным магическим преобразованиям. Это функции параболы (y = k * (c * x + a)2 + b) и котангенса (y = k* ctg(c * x + a) + b).
В случае с параболой всё более-менее ясно; что касается котангенса, то здесь возможен также выбор функции тангенса в качестве базовой, поскольку они связаны взаимными магическими преобразованиями. Выбор же был обусловлен условиями деления (начиная с первой четверти) — первый отрезок, определённый как соответствующий периодической функции, с минимальными магическими преобразованиями ближе к функции котангенса.
В итоге мы имеем из шестнадцати выделенных отрезков 4 соответствующих магически преобразованной функции котангенса, а остальные 12 — магически преобразованной функции параболы.
Характеристики исходных функций и их магическое приложение
Парабола
Базовое уравнение этой функции: y = x2, или, в более общем виде: y = k * (c * x + a)2 + b.
Свойства функции:
E(y) = [0; +∞)
F(x) = (-∞; +∞)
Характеристики функции: убывающая при x є (-∞; 0), возрастающая при x є (0; +∞), чётная (симметрична относительно оси OY).
Основным отличительным признаком параболы являются две ветви — нисходящая и восходящая. Это может отражаться два аспекта магии — гашение чужих чар и усиление своих, причём два этих процесса вполне могут работать один за счёт другого. В отражённом относительно оси абсцисс виде парабола может служить наглядной иллюстрацией магических техник, основывающихся на наборе силы и его спаде после определённого момента.
«Ветви» параболы симметричны относительно оси ординат. Если относительно неё начать вращение функции, итоговая фигура будет иметь форум своеобразной чаши; такая система может служить накопителем энергии. - чашей практически в буквальном смысле, а также защитой — аналогом купола при условии отражения относительно оси абсцисс.
Котангенс
Базовое уравнение данной функции: y = ctgx, или, в более общем виде: y = k* ctg(c * x + a) + b.
Свойства функции:
E(y) = (-∞; +∞)
F(x) = x ≠ пn, где n є Z
Характеристики функции: периодическая, период п, убывающая, нечётная (ctg(-x) = - ctg x;).
Котангенс, как и прочие тригонометрические функции, характеризуется периодичностью, то есть повторением на числовой прямой определённых систем. Котангенс в чистом виде — функция убывающая, однако не равномерно.
При отражении графика функции котангенса относительно сои абсцисс получает возрастающий график функции. Плавность перехода и его параметры могут быть отображением роста всего живого, в частности, растений, потому магию котангенса после соответствующих магических преобразований вполне можно применять в качестве составляющего элемента природных чар.
Если провести прямую, параллельную оси ординат и проходящую через точку, в которой график функции котангенса пересекает ось абсцисс (например, п/2), а затем относительно это прямой заставить график вращаться, то мы получим структуру, напоминающую песочные часы. Тогда функция котангенса приобретает ещё одно магическое значение — своеобразной воронки сил. также нельзя исключать и классическое воплощение формы — собственно, часов.
Если же за ось вращения принять ось абсцисс, то получится сходная воронка, только с более широкими «раструбами». Подобные воронки также можно применять в качестве магических фильтров, как создавая на основе их параметров реальные предметы, так и чисто магические конструкции.
Исходная парабола y = x2 (тонкие фиолетовые линии):
Горизонтальный перенос (тонкие фиолетовые линии): y = (x+2)2 и y = (x-2)2:
Вертикальный перенос (толстые фиолетовые линии): y = (x+2)2-5 и y = (x-2)2-5:
Отражение относительно оси OX (тонкие фиолетовые линии): y = -(x+2)2 и y = -(x-2)2:
Вертикальный перенос (толстые фиолетовые линии): y = -(x+2)2-5 и y = -(x-2)2-5:
Расширение (тонкие оранжевые линии): y = 0,25*(x-2)2:
Расширение (тонкие оранжевые линии): y = 0,25*(x+2)2:
Вертикальный перенос (толстые оранжевые линии): y = 0,25*(x+2)2-5 и y = 0,25*(x-2)2-5:
Отражение относительно оси ОХ (тонкие оранжевые линии): y = -0,25*(x-2)2-5:
Отражение относительно оси ОХ (тонкие оранжевые линии): y = -0,25*(x+2)2-5:
Вертикальный перенос (толстые оранжевые линии): y = -0,25*(x+2)2-5 и y = -0,25*(x-2)2-5:
Горизонтальный перенос (тонкие салатные линии): y = (x-23/6)2:
Горизонтальный перенос ()тонкие салатные линии: y = (x+23/6)2:
Сжатие (толстые салатные линии): y = 4*(x+23/6)2 и y = 4*(x-23/6)2:
Отражение относительно оси OX (толстые салатные линии): y = -4*(x+23/6)2 и y = -4*(x-23/6)2:
Котангенс (тонкие розовые линии): y = ctgx:
Горизонтальный перенос: y = ctg(x — 3π/4) и y = ctg(x — 3π/4), сжатие: y = 8* ctg(x — 3π/4) и y = 8 * ctg(x — 3π/4), вертикальный перенос: y = 8* ctg(x — 3π/4) ± п и y = 8 * ctg(x — 3π/4) ± п, отражение относительно оси OX: y = -8* ctg(x — 3π/4) ± п и y = -8 * ctg(x — 3π/4) ± п (розовые линии):
Исследование уравнений
Начнём рассматривать функции по порядку – с первой четверти.
1) F1(x) = -0.25 * (x - 2)2 + 5
Исходная функция: y = x2, парабола.
Коэффициент a = -2 под знаком степени отвечает за горизонтальный перенос относительно оси OY, в нашем случае на 2 единицы вправо от начала координат. Коэффициент k = -0,25 обеспечивает магическое расширение графика; минус перед ним – отражение относительно оси OX. Коэффициент b = 5 отвечает за вертикальный перенос относительно оси OX – на 5 единиц вверх.
Свойства области:
E(y) = [4; 5]
F(x) = [0; 2]
Характеристика области: возрастающая.
2) F2(x) = -(x - 2)2 + 5
Исходная функция: y = x2, парабола.
Коэффициент a = -2 под знаком степени отвечает за горизонтальный перенос относительно оси OY, в нашем случае на 2 единицы вправо от начала координат. Коэффициент k = -1 характеризует отражение графика функции относительно оси OX. Коэффициент b = 5 отвечает за вертикальный перенос относительно оси OX – на 5 единиц вверх.
Свойства области:
E(y) = [4; 5]
F(x) = [2; 3]
Характеристика области: убывающая.
3) F3(x) = 8 * ctg(x — 3π/4) + π
Исходная функция: y = ctgx.
Коэффициент a = -3п/4 в качестве составляющей аргумента котангенса отвечает за горизонтальный перенос относительно оси OY, в нашем случае на 3п/4 единицы вправо от начала координат. Коэффициент k = 8 обеспечивает магическое сжатие графика. Коэффициент b = п отвечает за вертикальный перенос относительно оси OX – на п единиц вверх.
Свойства области:
E(y) = [2; 4]
F(x) = (п; 3п/2)
Характеристики области: периодическая, период п/2, убывающая.
4) F4(x) = 2 * (x - 23/6)2
Исходная функция: y = x2, парабола.
Коэффициент a = -23/6 под знаком степени отвечает за горизонтальный перенос относительно оси OY, в нашем случае на 23/6 единицы вправо от начала координат. Коэффициент k = 2 обеспечивает магическое сжатие графика к оси ординат.
Свойства области:
E(y) = [0; 2]
F(x) = [23/6; 3п/2]
Характеристика области: возрастающая.
5) F5(x) = -2 * (x - 23/6)2
Исходная функция: y = x2, парабола.
Коэффициент a = -23/6 под знаком степени отвечает за горизонтальный перенос относительно оси OY, в нашем случае на 23/6 единицы вправо от начала координат. Коэффициент k = -2 обеспечивает магическое сжатие графика к оси ординат; минус перед ним — отражение графика относительно оси OX.
Свойства области:
E(y) = [-2; 0]
F(x) = [23/6; 3п/2]
Характеристика области: убывающая.
6) F6(x) = -8 * ctg(x – 3π/4) - π
Исходная функция: y = ctgx.
Коэффициент a = -3п/4 в качестве составляющей аргумента котангенса отвечает за горизонтальный перенос относительно оси OY, в нашем случае на 3п/4 единицы вправо от начала координат. Коэффициент k = -8 обеспечивает магическое сжатие графика; минус перед ним – отражение относительно оси OX. Коэффициент b = -п отвечает за вертикальный перенос относительно оси OX – на п единиц вниз.
Свойства области:
E(y) = [-4; -2]
F(x) = (п; 3п/2)
Характеристики области: периодическая, период п/2, возрастающая.
7) F7(x) = (x - 2)2 - 5
Исходная функция: y = x2, парабола.
Коэффициент a = -2 под знаком степени отвечает за горизонтальный перенос относительно оси OY, в нашем случае на 2 единицы вправо от начала координат. Коэффициент b = -5 обеспечивает магический перенос графика вдоль оси ординат — на 5 единиц вниз.
Свойства области:
E(y) = [-4; -5]
F(x) = [2; п)
Характеристика области: возрастающая.
8) F8(x) = 0.25 * (x - 2)2 - 5
Исходная функция: y = x2, парабола.
Коэффициент a = -2 под знаком степени отвечает за горизонтальный перенос относительно оси OY, в нашем случае на 2 единицы вправо от начала координат. Коэффициент k = 0,25 обеспечивает магическое расширение графика. Коэффициент b = -5 отвечает за вертикальный перенос относительно оси OX – на 5 единиц вниз.
Свойства области:
E(y) = [-4; -5]
F(x) = [0; 2]
Характеристика области: убывающая.
9) F9(x) = 0.25 * (x + 2)2 - 5
Исходная функция: y = x2, парабола.
Коэффициент a = 2 под знаком степени отвечает за горизонтальный перенос относительно оси OY, в нашем случае на 2 единицы влево от начала координат. Коэффициент k = 0,25 обеспечивает магическое расширение графика. Коэффициент b = -5 отвечает за вертикальный перенос относительно оси OX – на 5 единиц вниз.
Свойства области:
E(y) = [-4; -5]
F(x) = [-2; 0]
Характеристика области: возрастающая.
10) F10(x) = (x + 2)2 - 5
Исходная функция: y = x2, парабола.
Коэффициент a = 2 под знаком степени отвечает за горизонтальный перенос относительно оси OY, в нашем случае на 2 единицы влево от начала координат. Коэффициент b = -5 обеспечивает магический перенос графика вдоль оси ординат — на 5 единиц вниз.
Свойства области:
E(y) = [-5; -4]
F(x) = (п; -2]
Характеристика области: убывающая.
11) F11(x) = 8 *ctg(x + 3π/4) - π
Исходная функция: y = ctgx.
Коэффициент a = 3п/4 в качестве составляющей аргумента котангенса отвечает за горизонтальный перенос относительно оси OY, в нашем случае на 3п/4 единицы влево от начала координат. Коэффициент k = 8 обеспечивает магическое сжатие графика. Коэффициент b = -п отвечает за вертикальный перенос относительно оси OX – на п единиц вниз.
Свойства области:
E(y) = [-4; -2]
F(x) = (-3п/2; -п)
Характеристики области: периодическая, период п/2, убывающая.
12) F12(x) = -2 * (x + 11/3)2
Исходная функция: y = x2, парабола.
Коэффициент a = 11/3 под знаком степени отвечает за горизонтальный перенос относительно оси OY, в нашем случае на 11/3 единиц влево от начала координат. Коэффициент k = -2 обеспечивает магическое сжатие графика к оси ординат; минус перед ним — отражение графика относительно оси OX.
Свойства области:
E(y) = [-2; 0]
F(x) = (-3п/2; -11/3]
Характеристика области: возрастающая.
13) F13(x) = 2 * (x + 11/3)2
Исходная функция: y = x2, парабола.
Коэффициент a = 11/3 под знаком степени отвечает за горизонтальный перенос относительно оси OY, в нашем случае на 11/3 единиц влево от начала координат. Коэффициент k = 2 обеспечивает магическое сжатие графика к оси ординат.
Свойства области:
E(y) = [0; 2]
F(x) = (-3п/2; -11/3]
Характеристика области: убывающая.
14) F14(x) = -8 * ctg(x + 3π/4) + π
Исходная функция: y = ctgx.
Коэффициент a = 3п/4 в качестве составляющей аргумента котангенса отвечает за горизонтальный перенос относительно оси OY, в нашем случае на 3п/4 единицы влево от начала координат. Коэффициент k = -8 обеспечивает магическое расширение графика; минус перед ним – отражение относительно оси OX. Коэффициент b = п отвечает за вертикальный перенос относительно оси OX – на п единиц вверх.
Свойства области:
E(y) = [2; 4]
F(x) = (-3п/2; -п)
Характеристики области: периодическая, период п/2, возрастающая.
15) F15(x) = -(x + 2)2 + 5
Исходная функция: y = x2, парабола.
Коэффициент a = 2 под знаком степени отвечает за горизонтальный перенос относительно оси OY, в нашем случае на 2 единицы влево от начала координат. Коэффициент k = -1 характеризует отражение графика функции относительно оси OX. Коэффициент b = 5 обеспечивает магический перенос графика вдоль оси ординат — на 5 единиц вверх.
Свойства области:
E(y) = [4; 5]
F(x) = (-п; 2]
Характеристика области: возрастающая.
16) F16(x) = -0.25 * (x + 2)2 + 5
Исходная функция: y = x2, парабола.
Коэффициент a = 2 под знаком степени отвечает за горизонтальный перенос относительно оси OY, в нашем случае на 2 единицы влево от начала координат. Коэффициент k = -0,25 обеспечивает магическое расширение графика; минус перед ним – отражение относительно оси OX. Коэффициент b = 5 отвечает за вертикальный перенос относительно оси OX – на 5 единиц вверх.
Свойства области:
E(y) = [4; 5]
F(x) = [-2; 0]
Характеристика области: убывающая.
Выводы: объединение эффектов отдельных областей
Рассмотрим полученные графики функции в общем виде — то есть применительно к тому целому, частью которых они являются — четырёхлистного клевера. В нашей системе (да и вообще) черенок крепится к точке {0; 0}, соответственное, видимая нами идеализированная плоскость листьев — это верхняя часть. С этой точки зрения каждый из четырёх листьев нашего клевера идентичен остальным трём (без учёта перемещения в пространстве), соответственно, трактовка свойств может быть применена к определённому положению клевера в пространстве. С другой стороны, этот факт свидетельствует о том, что каждый отрезок графика, с помощью которого мы отобразили клевер в двумерной системе координат, обладает одновременно и такими же свойствами, как и его аналог, отражённый относительной оси абсцисс или ординат.
В нашей системе основным фактором, влияющим на магические свойства частей (отрезков графиков), является знак коэффициента k. Вторым фактором, зависящим также от знака коэффициента k (по сути) можно отметить убывание или возрастание данной области графика функций.
Рассмотрим подробнее. Отрицательный коэффициент k, как было сказано в магической характеристике функции, позволяет получившуюся структуру использовать в качестве составного элемента защитных чар. С учётом реального положения клевера в пространстве — каждый элемент его края, отображённый в виде параболической функции обладает такими свойствами. Как было отмечено в теоретической части, одна из магических функций клевера — защитная. Это можно воспринимать, как защиту от неудач, так и защиту от негативных сил. Двенадцать элементов структуры клевера, обладающие характеристиками параболической функции, составляют внушительную часть контура, и характеризуют важность этого свойства.
Положительный коэффициент k обеспечивает функцию параболы и её «реализацию» свойствами влиять на ослабление вражеских чар и усиление собственных. Этот эффект сам по себе влияет на удачливость мага — вкупе к защитным свойствам добавляющий и усиливающий возможность активно влиять на ситуацию.
Сами по себе коэффициенты c и k, влияющие на форму контура листьев, в чистом виде воздействуют в том числе и на функции. Более «широкая» парабола, например, позволяет увеличить объём накапливаемой положительной энергии — как раз той силы, что обеспечивает удачливость и везение (аналогично и с функциями котангенса, расширение «веток» которых увеличивает размах воронок, приведенных в фигурах вращения). Также это влияет на время для использование магической энергии и гашение вражеской, или же обеспечение защитой большего пространства. Более узкие фигуры — напротив, характеризуются точечным характером влияния и быстродействием.
На временной фактор функций, описывающих контур листьев клевера, влияют как раз четыре элемента графика функции котангенса (объёмная интерпретация приведена в разделе с характеристиками исходных функций).
Коэффициенты a и b обеспечивают клевер его формой, но напрямую не влияют на магические особенности предмета.
Использованная литература
1. Статья «Четырёхлистный клевер» в волшебном сборнике информации обо всём на свете (почти) (http://ru.wikipedia.org/wiki/Четырёхлистный_клевер)
2. Толстенный том авторства Ричарда Мэбея «Flora Britannica»
3. Выдержки из лекций по Травоведению (http://herbalogya.ru/kabinet/1/trifolium.php)
4. Пыльная полка нумизмата (http://coinstrade.ru/catalog/palau-2009-1-dollar-cvetnoj-zolotoj-chetyryoxlistnyj-klever-proof)
5. Сводка по магии преобразования графика функции (http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=51)
Оценка: 25 Дата сдачи работы: 20.11.2012 Дата проверки: 21.11.2012
Комментарий: Вы меня поразили курсовой. Выбрана очень интересная фигура. Ваши размышления заставили задуматься и может даже дадут тему для будущих семинаров. Хотелось бы всё это обсудить более подробно.
Есть местами описки, но далее они поправлены, поэтому на оценку не повлияли.
Хочется продолжить с Вами работу в следующем модуле) Спасибо) С Вами было интересно работать)
Карта сайта (с) Чжоули
Последние изменения:
17.11.2015
