Дольвиче Венециана 3 курс Вуза (Кранног) Магия функций и интегралов
Как сдвинуть плиту
Здравствуйте, профессор Чжоули! Мне наконец удалось придумать и нарисовать, как будет выглядеть тот самый камень. Очень надеюсь, что это будет самая сложная часть курсовой.
Собираться в дальнюю и трудную магическую дорогу всегда трудно. Вот и мне пришлось несколько раз перепроверить список необходимых вещей:
1) Удобная одежда и обувь, потому как дорога дальняя.
2) Волшебная палочка и пара-тройка оберегов, потому как дорога магическая.
3) Большой запас еды и воды, потому как дорога трудная.
4) Палатка и спальник, чтобы было где и в чем ночевать, пока не разгадаю загадку камня.
5) Теплая одежда, чтобы не замерзнуть холодными ночами.
6) Котелок, чтобы варить еду.
7) Много пергаментов и перьев, а также чернильница, чтобы произвести все необходимые расчеты и записи.
8) Банальный маггловский калькулятор.
9) Путевой дневник.
10) И собрать в кучку мозги, чтобы ничего не напутать и не ошибиться.
Куда я иду? Говорят где-то далеко в горах есть маленькая деревушка, где живут только маги. Там ходит поверье, что когда-то рядом с деревней был волшебный источник с необыкновенно целебной водой, но много лет назад какой-то злой маг заслонил источник большой плитой, и с тех пор нет людям ни сна ни покоя, потому как привыкли они пользоваться источником, да и туристов-магов к нему много приезжало, а теперь воды нет, а значит и экология и экономика нарушена. Много кто пытался сдвинуть плиту с места, но безрезультатно.
Возможно, я слишком самоуверенна, но не зря же я получаю высшее магическое образование и специализируюсь на функциях и интегралах. Может ни один маг в деревне просто не разбирается в этой науке? Я конечно еще не специалист, но попробовать-то можно.
Дорога туда и правда трудна, да и не очень я умею ходить по горам. Моя стихия скорее море. Вот там я могу плавать сколько угодно. А горы пугают. И все же где пешком, где на попутках, я добралась до деревни. Заходить в нее не стала – условия были заранее оговорены с местными старейшинами. Подошла к плите и разбила возле нее палатку. К тому времени уже стемнело, а потому осмотр места действия и все расчеты решила отложить на следующее утро.
Почти с самого утра зарядил дождь, но я все же успела до него зарисовать плиту, хоть и криво. Засев в палатке, я как могла поколдовала над рисунком и получила от него что требовалось – уравнения функций, описывающих кривые, которыми очерчена плита. Вот что у меня получилось
Если для определения функций и есть какое-то заклинание, то уж точки их пересечения надо искать самому. Вот этим и займусь, потому что надо определиться из каких частей состоит плита и в каких интервалах будет функция, ограничивающая кусочек. Начинаю:
1) Первый кусочек ограничен функцией y=sqrt(x+3). Начинается он в точке пересечения функции с осью ОХ, то есть в точке, где х=-3. А чтобы найти, где заканчивается этот кусочек, надо решить одно уравнение и определить точку пересечения этой функции с функцией y=4cos(x)
sqrt(x+3)=4cos(x)
Честно говоря, решить это уравнение довольно сложно, потому попробую применить небольшой артефакт, который показывает, что в точке пересечения х приблизительно равен -1,25. То есть имеем промежуток от -3 до -1,25.
2) Второй кусочек образует функция у=4cos(x) на промежутке от точки пересечения с предыдущей функцией х=-1,25 до ближайшего пересечения с осью ОХ.
4cos(x)=0
cos(x)=0
x=п/2
Для того, чтобы было удобнее интегрировать, определим х начала промежутка через пи
п=3,14
х=-1,25
х=-0,4п
Предлагаю чуть-чуть сместить эту точку. Это незначительно повлияет на расчеты, может просто надо будет чуть больше силы приложить. Предлагаю принять х=-п/2 для начала промежутка. То есть будет промежуток от –п/2 до п/2.
3) Третий кусочек образует функция у=(х+2)^2-2 ниже линии у=-1. Чтобы получить фигуру выше оси ОХ, превращу ка я ее в у=-(х+2)^2+2 выше линии у=1. И решим уравнение
-(x+2)^2+2=1
-x^2-4x-4+2-1=0
-x^2-4x-3=0
x^2+4x+3=0
x=-3
x=-1
Получаем промежуток от -3 до -1.
4) Четвертый кусочек будет ограничен прямой у=-1 на промежутке от -1 до п/2, то есть примерно до 1,57. Так будет удобнее для вычислений. Превратим ее в функцию у=1 на том же промежутке.
5) Пятый кусочек ограничен снизу функцией у=-1, а снизу – функцией у=4cos(x) на промежутке от п/2 до точки пересечения этих функций. Превратим их в функции у=1 и у=-4cos(х) соответственно и теперь прямая будет сверху. А точка их пересечения такова…
-4cos(x)=1
cos(x)=-1/4
x=0,58п
Для вычисления площадей этого достаточно, а вот когда мы найдем центры масс каждого кусочка, то для кусочков, изначально находившихся ниже оси ОХ, надо будет поменять знак у на противоположный. А затем уже постепенно вычислять центр масс всей фигуры, присоединяя кусочки один за другим. И да, с пятым кусочком придется применить мои теоретические выкладки из последней домки.
Кусочек 1. Начнем с площади этой трапеции
И теперь координаты центра масс для этого кусочка
Кусочек 2.
Начнем с площади
И теперь центр масс
Теперь я пожалуй вычислю координаты центра масс для всей части плиты, которая оказалась над осью ОХ. Потом, когда вычислю все центры масс для кусочков ниже оси ОХ, найду центр масс для той части, что ниже оси ОХ. А потом уже центр масс для всей фигуры. Так будет проще.
И координаты центра масс для нижнего кусочка будут (-2,5;-1,07). Но для удобства вычислений лучше оставим все нижние кусочки отраженными наверху, и для них вычислим центр масс суммы этих кусочков. А потом найдем центр масс такой же фигуры внизу. Так что оставляем центр масс (-2,5;1,07).
Кусочек 4.
Начнем с площади
И теперь центр масс
Теперь можно вычислить центр масс фигуры, состоящей из 2 кусочков, расположенных ниже оси ОХ.
Кусочек 5. Здесь имеем дело с верхней и нижней частью, то есть с большей и меньшей трапецией
Начнем с большей трапеции и с ее площади
И теперь центр масс
Получается, центр трапеции, если она располагается правильно – ниже оси ОХ, находится в точке (1,7;-0,5). Но мы пока его оставим в точке (1,7;0,5) для удобства расчетов.
Теперь меньшая трапеция и ее площадь
И ее центр масс. Предлагаю не вычислять х для этой точки, потому что он скорее всего совпадет или будет максимально близок к х большей трапеции. Потому вычисляем только у
А центр масс этой трапеции на самом деле находится в точке (1,7;-0,54), но мы его пока что оставим в точке (1,7;0,54).
Теперь займемся маленьким кусочком – результатом вычитания меньшей трапеции из большей. Вспоминаем, что центр масс большей трапеции будет центром масс суммы меньшей трапеции и этого маленького кусочка. Тогда
d2*m2=d3*m3
где фигура 1 – меньшая трапеция, а фигура 2 – маленький кусочек, d2 – расстояние от центра масс фигуры 2 до центра масс большей трапеции, d3 – расстояние от центра масс большей трапеции до центра масс маленького кусочка.
Посмотрим, что из этого нам уже известно
m2=0,12
m3=0,25-0,12=0,13
Отсюда
d3=0,04*0,12/0,13=0,04
Это очень упрощает нам задачу. Получается, что d3=d2, а х для всех трех точек одинаковый, потому путем устного счета получаем, что центр масс искомого кусочка будет находиться в точке (1,7;-0;58) в идеале, но мы его пока оставим в точке (1,7;0,58)
Теперь присоединяем пятый кусочек к третьему и четвертому, пока не перемещая вниз, и ищем центр масс всей части фигуры, которая расположена ниже оси ОХ так, как если бы она была выше оси ОХ.
d1=t
d2=2,84-t
S1*t=S2*(2,84-t)
S1=2,67+2,57=5,24
5,24t=0,13*(2,84-t)
5,11t=0,3692
t=0,07
k=0,07/2,84=0,02
C1C2={2,835;-0;21}
x=-1,135+0,02*2,835=-1,0783
y=0,79-0,02*0,21=0,7858
Центр этой фигуры мы уже смело можем назвать такой как надо, а именно (-1,0783;-0,7858).
И наконец мы можем вычислить центр масс для всей плиты. Я тут поколдовала, расставила на плоскости все центры масс и получилось, что центр масс нижней фигуры значительно левее центра масс верхней. Потому он будет началом отрезка для вычисления центра масс всей фигуры, а центр масс верхней фигуры будет соответственно концом отрезка. Получаем
Вот вроде бы и получился центр масс всей фигуры. Я еще несколько раз перепроверила наложение плиты на систему координат и расположение всех точек, а потом приложила силу в точке (-1,57;-2,03). Как вы думаете, что у меня получилось?
Оценка: 25 Дата сдачи работы: 11.11.2012 Дата проверки: 11.11.2012
Комментарий: Колоссальный труд Вы проделали, Дольвиче!
Ваше усердие и терпение в изучении такого необычного предмета вызывает уважение.
С небольшими недочётами в расчётах разобрались. Остальное выполнено очень качественно. Молодец!)
Карта сайта (с) Чжоули
Последние изменения:
17.11.2015
