Дольвиче Венециана 2 курс Вуза (Кранног) Магия функций и интегралов
Путешествие
Здравствуйте, профессор Чжоули!
Куда только не заносит судьба магов, особенно если перезаниматься. Вот сидела-сидела, решала-решала задачки, и уснула. А во сне всегда попадаешь не туда, куда задумывал, особенно если ты не сэр Маба Калох. Но это все лирика, а сон получился самый что ни на есть реалистичный и функционально-интегральный. Впрочем, нет ничего удивительного в таком направлении путешествия, когда мозги заняты только одним. Этот сон я запомнила надолго, но записать все равно не помешает…
Я иду по какой-то узенькой тропинке и не могу не свернуть с нее, ни посмотреть по сторонам, ни вернуться. Смотрю только вперед, но и там ничего, вокруг только очень густой туман. Туман и в моих мыслях, я не понимаю где я и чего от меня ждут в этом мире. Философская проблема? Наверно. Но мне она кажется очень важной и сложной.
Вдруг дорогу мне преграждает большая скала – ни обойти, ни влезть наверх невозможно. Что делать, когда нет вокруг никого и ничего, когда не от кого ждать помощи, а назад повернуть нельзя? Главное – не падать духом. Впрочем, там и падать-то было некуда.
Неожиданно ко мне спускается длинная лестница, я приставляю ее к скале и она оказывается как раз впору. Влезть по ней совсем несложно, а противоположная сторона скалы полога и удобна для спуска.
И снова тропинка бежит все вдаль и вдаль, и нет ей конца… а нет, рано я радовалась. Конец наступил раньше, чем предполагалось. Передо мной бездонная пропасть, тропинка оборвалась и дальше не идет, а мне почему-то очень надо туда, дальше. И снова помощь приходит неизвестно откуда. Мне под ноги падает моток веревки (может стоило не пытаться оглядеться по сторонам, а надо было смотреть вверх?), да вот беда – веревка коротковата для такого расстояния.
А в руках у меня откуда-то появился странный чемоданчик с разными приборами. Почему бы не применить один из них, а заодно и знания по магии функций и интегралов, чтобы удлинить веревку. Ну очень мне почему-то надо на другую сторону.
Перебраться по веревке на другую сторону сложновато. Канатоходец из меня не очень хороший получился, но в целом я как-то добираюсь до другого края. А там… Только сделала несколько шагов и чуть не увязла в болоте. Куда дальше идти – не знаю. А тут навстречу некое существо, чем-то напоминающее облако:
-Ты откуда и куда?
-Да я вроде как сплю и понятия не имею, куда попала. Знаю только, что мне очень надо куда-то вон туда (показываю рукой вперед).
-А туда никак нельзя. Вернее прямо нельзя. Болото тут.
-Да вижу. А обойти никак нельзя?
-Можно. Только непросто это. Только если знаешь тропинку. А тропинка всегда идет так, что только в одном месте к болоту подходит, а в остальном идет мимо.
-И как же эту тропинку найти?
-Если бы я знал… все давно гадают, да никак не разгадают. Видишь вон там щит, на котором какие-то странные буквы и цифры написаны. Может хоть ты знаешь, что это такое? А то все тут ходить боятся – как бы не потонуть.
-Да я попробую конечно…
Надпись гласила
y=sqrt(3x^3+2x^2+x+5)
Тебя интересует пункт 3 -Как это у тебя получилось?
-Да есть в нашем мире такая непростая магия. Похоже, и у вас она действует. Да и почему бы ей не действовать?
-Ладно, учтем на будущее.
Я попрощалась и пошла по тропинке, а существо еще долго удивленно смотрело мне вслед. Болото булькает с одной стороны, лес стоит стеной с другой стороны. И чего тут непонятного? Иди по кромке леса и не потонешь. Хотя в болоте тоже бывает деревья растут, хоть и не так густо, потому надо быть осторожной.
И вот прямо как в сказке – развилка трех дорог. И камень на этой развилке. И надпись на камне, да только не совсем такая, как на всех подобных камнях
Выбирай дорогу непрямую, но такую, чтобы не оборвалась. Лишь тогда попадешь куда следует. Но помни, дороги коварны и порой невидны, а потому, прежде чем идти, изучи каждый изгиб и каждый поворот. Есть у тебя три подсказки
Направо пойдешь - y=x^2+1/x
Налево пойдешь – y=sqrt(x^2-3x+2)
Прямо пойдешь – y=x+1/(x^2+1) Вот зря говорят, что прямая дорога не всегда верная. Еще какая верная – я в этом убедилась на собственном опыте. Идешь себе и горя не знаешь… до поры до времени. И похоже то самое время настало.
Передо мной гора. Не сказать, чтобы сильно высокая, но все же. И залезть на нее никак нельзя. Есть правда какие-то уступки, но как на них забраться? А на земле у самого подножия круг какой-то, и в нем надпись
|z-3|<|z/2+i| Ты должен попасть в круг. Будь внимателен! Возможно портал работает, а возможно поломан. Определи это и если надо – почини портал. Тогда попадешь выше. Задачка не из слишком сложных. Надо только немного поколдовать с этим порталом, чтобы понять, в какой круг попаду
Первая ступенька преодолена без проблем, и я оказалась прямо в круге. Не удивительно, что нужно было именно в круг попасть – ступенька совсем маленькая и абсолютно круглая. Всего один шаг в сторону – и упадешь в пропасть. А дальше куда? Вот тут на скале какая-то надпись
|z+2|<=|z+1| Помни, что тебе надо попасть только налево и ни в коем случае направо. Исправь что надо и если надо в портале – и в путь Тоже не такая уж сложная задачка. Главное внимательно. Вот и стою теперь на большом плато. А в вышине проплывают облака. И вот хочется мне попасть вон на то, самое верхнее. Почему-то кажется, что именно там находится что-то очень важное. Только нет ни верной метлы с собой, ни чего-то другого летающего. Да и облако высоковато. А чуть ниже него еще одно, как ступенька на пути к цели, но и до него не доберешься.
Долго бродила я по плато, но таки отыскала круг и портал-надпись
|z+5-2i|<4
Подбери портал, чтобы попасть именно на правильное облако. Вот его адрес
|w-4|<5 Вот я и на облаке-ступеньке. Как-то неуютно и холодно тут – сразу видно, что не конечный пункт, а только промежуточный. Надо искать способ забраться на то самое облако. Только тут уже я на веревку не соглашусь. Надо хотя бы доску какую-нибудь. И правда даже в облаке можно найти портал
Облако не круглое и не везде прочное. Тебе надо попасть на прочную половину и не оступиться. Думай. То облако аналог этого, но лишь одна его половина тебе нужна - правая. Не ошибись Ну да, поколдовать чтоб заработал портал пришлось немало, но труды не пропали зря. Я стою на той самой половине облака. УРА! ААААААААА!!!
Половина оказалась та, да ненадолго. Только несколько секунд стояла я на облаке, а потом начала падать. Испугалась и проснулась.
Я специально не писала решения загадок прямо в тексте, а дала только картинки. Не стоит перемежать текст, близкий к художественному, с математическими формулами. Потому разгадки всех загадок я напишу дальше.
Загадка 1 – как забраться на скалу при помощи подходящей лестницы
Понадобится функция, которая даст отображение один в один. Тогда лестница не поломается и я доберусь до вершины без проблем. А именно прямая у=х, которая преобразует нужный нам отрезок в точно такой же, без всяких изменений.
Загадка 2 – как удлинить веревку и перебраться на другой конец пропасти
Тут нам понадобится функция, которая преобразует какой-то отрезок (кусок веревки) в отрезок подлиннее. Надо что-то очень прочное и гибкое. Например, парабола.
Например, такая y=x^2+4x+10. Чтобы ее правильно изобразить, лучше ее записать как y=(x+2)^2+6. Это будет парабола, смещенная на 2 влево и на 6 вверх. Помним, что область определения параболы – вся числовая прямая. Но я бы сказала, что нас интересует только одна из ветвей параболы, а то если концы отрезка будут на разных ветвях, отрезок может и уменьшиться. И я бы взяла правую ветку – она мне больше нравится.
Вершина параболы находится в точке (-2;6), значит нам нужен для эксперимента некий отрезок, где x>=-2. Допустим, это будет отрезок от 0 до 2. Его длина равна 2. Посмотрим, что сделает с ним функция.
y(0)=10
y(2)=4+8+10=22
И длина отрезка равна 12. Явно неплохое удлиннение веревки.
Загадка 3 – как пройти через болото и не утонуть
Здесь нам поможет магия производной и знание, как ее применить к касательной. Попробуем разобраться
y=sqrt(3x^3+2x^2+x)
y’=(sqrt(3x^3+2x^2+x))’*(3x^3+2x^2+x)’=1/2*1/sqrt(3x^3+2x^2+x)*(9x^2+4x+1)=(9x^2+4x+1)/2sqrt(3x^3+2x^2+x)
Помним, что касательная в некоторой точке записывается (как и любая прямая) в виде
y=kx+b, где
k=y’(x0)
b=y(x0)-y’(x0)*x0
Для удобства подстановки сначала проведем некоторые вычисления
y(3)=sqrt(3*27+2*9+3)=sqrt(81+18+3)=sqrt(102)
y’(3)=(9*9+4*3+1)/2sqrt(102)=(81+12+1)/2sqrt(102)=47/sqrt(102)
Итак, на необходимую тропинку ведет вот этот портал
k=47/sqrt(102)
b=sqrt(102)-47*3/sqrt(102)=sqrt(102)-141/sqrt(102)
y=47x/sqrt(102)+sqrt(102)-141/sqrt(102)
Попробуем понять, как пройдет исходная кривая, то есть какой будет карта болота и как пройдет наша тропинка
Для начала найдем область определения функции
3x^3+2x^2+x>=0
Найдем корни
3x^3+2x^2+x=0
x(3x^2+2x+1)=0
x=0
3x^2+2x+1=0
D=2^2-4*3*1=4-12=-8
То есть кроме 0 корней нет. Рассмотрим, где же 3x^3+2x^2+x будет больше 0, а где меньше.
1) Подставим х=-1.
3*(-1)^3+2*(-1)^2-1=-3+2-1=-2
2) Подставим х=1
3*1^3+2*1^2+1=6
Получается, нас интересует промежуток x>=0
Собственно эта же точка будет и нолем функции, то есть функция проходит через начало координат.
Найдем точки экстремума функции, тем более что производную мы уже нашли
y’=0
(9x^2+4x+1)/2sqrt(3x^3+2x^2+x)=0
9x^2+4x+1=0
При этом знаменатель не равен 0, то есть х не равно 0. Теперь решим уравнение
D=4^2-4*9=16-36=-20
Опять же нет точек экстремума, но можно определить, возрастает функция или убывает. В принципе, это можно сказать без проблем. Поскольку у нас х>0, производная тоже будет больше 0, то есть функция возрастает.
Возьмем вторую производную, определимся с точками перегиба – и задачка будет решена
y’’=((9x^2+4x+1)’*2sqrt(3x^3+2x^2+x)-(9x^2+4x+1)*(2sqrt(3x^3+2x^2+x))’/4(3x^3+2x^2+x)=((36x+8)sqrt(3x^3+2x^2+x)-(9x^2+4x+1)^2)/sqrt(3x^3+2x^2+x))/4(3x^3+2x^2+x)=((36x+8)(3x^3+2x^2+x)-(9x^2+4x+1)^2)/(12x^3+8x^2+4x)sqrt(3x^3+2x^2+x)
Знаменатель всегда больше 0, поскольку х больше 0. Можно было бы посмотреть, каким будет числитель, но в этом нет необходимости. Достаточно вспомнить, что для вложенных функций общий вид будет определяться внешней, если только нет разрывов. Разрывов у нас нет, а функция корня не имеет перегибов.
Загадка 4 – выбор дороги и определение ее вида
Для того, чтобы найти, какая дорога не оборвется, достаточно посмотреть, у какой функции область определения – все числа. А исследовать будем уже только эту одну дорогу, чтобы и на ней не заблудиться.
1) Дорога вправо
y=x^2+1/x
Область определения – все числа кроме 0, потому что знаменатель не должен быть равен 0.
2) Дорога влево
y=sqrt(x^2-3x+2)
x^2-3x+2>=0
(x-2)(x-1)>=0
Область определения – все числа, кроме промежутка (1;2).
3) Дорога прямо
y=x+1/(x^2+1)
Знаменатель дроби не должен быть равен 0, но он и не будет никогда равен 0, потому выбираем именно эту дорогу, поскольку область определения этой функции – все числа. Исследуем функцию более подробно
1) Область определения функции я уже нашла.
2) Особых точек нет, то есть вертикальных ассимптот тоже нет. Потому попробуем только найти наклонные ассимптоты.
y/x=1+1/(x^3+x)
Подставляем бесконечность, получается, что дробь стремится к 0, а y/x стремится к 1.
y-x=1/(x^2+1)
Подставляем бесконечность и получаем, что у-х стремится к 0.
То есть k=1, b=0 и мы получаем наклонную ассимптоту
y=x.
3) Множество значений проще будет определить уже на графике.
4) Нули функции – это очень просто
x+1/(x^2+1)=0
(x^3+x+1)/(x^2+1)=0
x^3+x+1=0
Я тут похимичила с артефактами и получилось х=-0,68. Приблизительно, конечно.
5) Определим, четная у нас функция или нечетная.
y(-x)=-x+1(x^2+1)
То есть функция получилась ни четная ни нечетная.
6) Теперь производная, точки экстремума, возрастание и убывание функции.
y’=x’+((x^2+1)^(-1))’=1-2x/(x^2+1)^2
((x^2+1)^2-2x)/(x^2+1)^2=0
x^4+2x^2-2x+1=0
Все тот же портал говорит, что этот многочлен не имеет действительных корней, то есть производная не равна 0, а значит точек экстремума нет. Осталось определить, возрастает производная или убывает.
Подставим х=0, у=1, то есть производная положительна и функция возрастает на всей области определения.
7) Теперь вторая производная, точки перегиба и выпуклость функции.
y’’=-((2x’(x^2+1)-2x((x^2+1)^2)’)/(x^2+1)^4=-(2x^2+2-2x^5-4x^3-2x)/(x^2+1)^4
Знаменатель всегда положительный, перед дробью минус, значит надо найти, где числитель отрицательный, а где положительный. Но для начала определим, где числитель равен 0.
-2х^5-4x^3+2x^2-2x+2=0
x^5+2x^3-x^2+x-1=0
(x^2+1)(x^3+x-1)=0
x^2+1=0 такого не бывает
x^3+x-1=0
С помощью артефакта находим х приблизительно 0,68, то есть у=1,28. Это и есть точка перегиба.
Проверим знак второй производной для х больше 0,68 и для х меньше 0,68.
х=0, у’’=-2, вторая производная отрицательная, функция выпукла вверх.
х=1, y’’=-(2+2-2-4-2)/16=1/4, вторая производная положительная, функция выпукла вниз.
Загадка 5 – как попасть на ступеньку в скале
|z-3|<|z/2+i|
|x-3+iy|<|x/2+i(y/2+1)|
sqrt((x-3)^2+y^2)<sqrt(x^2/4+(y/2+1)^2)
x^2-6x+9+y^2<x^2/4+y^2/4+y+1
3x^2/4+3y^2/4-6x-y<-8
x^2+y^2-8x-4/3y<-32/3
(x-4)^2-16+(y-2/3)^2-4/9<-32/3
(x-4)^2+(y-2/3)^2<52/9
Совершенно верно, с помощью этого квартала я попаду именно в круг с центром в точке (4;2/3) и радиусом приблизительно 2,4.
Загадка 6 – попасть на правильную половину плато
|z+2|<=|z+1|
|x+2+iy|<=|x+1+iy|
sqrt((x+2)^2+y^2)<=sqrt((x+1)^2+y^2)
x^2+4x+4+y^2<=x^2+2x+1+y^2
2x<=-3
x<=-3/2
Вот и получается, что мы в любом случае окажемся на левой половине плато. Можно активизировать артефакт.
Загадка 7 – попасть на промежуточное облако
|z+5-2i|<4
|w-4|<5
Преобразуем эти записи в более удобоваримый вид
|x+5+i(y-2)|<4
(x+5)^2+(y-2)^2<4
То есть исходный круг имеет центр в точке (-5;2) и радиус 2. Концы горизонтального диаметра – (-7;2) и (-3;2). Концы вертикального диаметра – (-5;0) и (-5;4).
|u-4+iv|<5
(u-4)^2+v^2<5
И должен получиться круг с центром в точке (4;0) и радиусом sqrt(5), то есть примерно 2,2. Концы горизонтального диаметра (1,8;0) и (6,2;0). Концы вертикального диаметра (4;2,2) и (4;-2,2).
Попробуем сделать горизонтальный диаметр горизонтальным. (-7;2) переходит в (4-sqrt(5);0), (-3;2) переходит в (4+sqrt(5);0).
4-sqrt(5)=(-7+2i)a+b
4+sqrt(5)=(-3+2i)a+b
Вычитаем
2sqrt(5)=-4a
a=-sqrt(5)/2
Подставляем
4-sqrt(5)=-(-7+2i)sqrt(5)/2+b
4-sqrt(5)=7sqrt(5)/2-i*sqrt(5)+b
b=4-9sqrt(5)/2+i*sqrt(5)
Итак, для перехода необходим портал
w=-z*sqrt(5)/2+4-9sqrt(5)/2+i*sqrt(5)
Загадка 8 – попасть на правильную половину облака
|z-4|<5
Нужно преобразовать эту окружность в прямую. Значит нам нужна волшебная точка. Чтобы ее найти, попробуем найти, где наша окружность пересекает ось ОХ. И это может быть точка (4-sqrt(5);0). И попробуем преобразовать окружность с помощью волшебной функции
w1=1/(z-4+sqrt(5))
z-4+sqrt(5)=1/w1
z=1/w1+4-sqrt(5)
|1/w1-sqrt(5)|<5
|1-w1*sqrt(5)|<5|w1|
|1-u*sqrt(5)-iv*sqrt(5)|<5|u+iv|
sqrt((1-u*sqrt(5))^2+5v^2)<5sqrt(u^2+v^2)
(1-u*sqrt(5))^2+5v^2<25u^2+25v^2
Точка получается явно не волшебная
20u^2+20v^2-1+2u*sqrt(5)>0
Может потому и попала я совсем не туда, куда хотела, и провалилась сквозь облако. И проснулась. И рисунка тоже не получилось.
Оценка: 22 Дата сдачи работы: 20.05.2012 Дата проверки: 21.05.2012
Комментарий: Ах, как жалко снижать оценку, но ошибки в расчётах есть и достаточно большие. Да, неплохой сюжет у Вас получился. Вы постарались собрать воедино все полученные знания и применить их на практике. Очень похвально.
Теперь ошибки.
Загадка 4. Всё же вид вашей функции получился проблемным и не совсем отвечающим магии распознавания. Вы нашли наклонную ассимптоту, но никак её не указали на рисунке, да и не видно, чтобы Ваша функция к чему-то стремилась. А она стремится к этой прямой.
Теперь насчёт точек перегиба. Вторую производную надо было сразу упростить, разделив на (1+x^2), и тогда бы Вы получили простой числитель. И не надо было бы применять артефакт. Корни там сразу видны, и их два. Поэтому точек перегиба две, что и логично, иначе функция просто не строится.
Можно было сначала прикинуть вид функции у=1/(x^2+1): это такая кочка в нуле, от которой дорожки бегут симметрично в обе стороны, приближаясь к оси ОХ. Когда прибавляется х, то вся функция поворачивается как бы на 45 градусов. Отсюда и наклонная ассиптота появляется, которую Вы очень хорошо нашли.
Теперь разберёмся с облаками.
Там Вы намудрили изначально, забыв при возведении в квадрат возводить и правую часть тоже. Отсюда у Вас появился корень из 5. А вообще, например, формула |z+5-2i|<4 задаёт окружность с радиусом 4. То есть радиус виден изначально, а вот центр окружности явно не виден и приходится прибегать поначалу к алгебраической форме мнимого числа. С практикой и центр окружности легко устно определяется.
Поэтому Вам не удалось в конце попасть туда, куда нужно.
Однако, в целом я всё равно довольна Вашими успехами. Думаю, что-то полезного у Вас в голове от второго модуля останется.
Спасибо за работу по модулю.
Карта сайта (с) Чжоули
Последние изменения:
17.11.2015
