Дольвиче Венециана 1 курс Вуза (Кранног) Магия функций и интегралов
Странное пугало
Здравствуйте, профессор Чжоули!
Вот наконец удалось мне нарисовать нечто с помощью функций. Рисовать я не умела никогда, потому прошу сам рисунок не судить строго. Знакомьтесь, это поломанное кособокое огородное пугало (хотя Эс утверждает, что картинка напоминает ему Рона). Палка на одном плече короче, чем на другом, а на длинном плече рубаха прорвалась и висит как попало.
Для рисунка я использовала целых 11 функций, в большинстве своем прямых, но есть и необычные экземпляры. Попробую рассказать о каждой из них
Функция №1
Эта странная кочка получилась из функции y=cos(x). Правда чтобы не делать очень сложных вычислений, я допустила, что «пи» равно 3. Это не сильно исказит картину, а строить графики намного удобнее. Что я знаю об этой функции?
1) Область определения – вся числовая прямая.
2) Область значений – от -1 до 1.
3) Функция периодическая и повторяется бесконечно с периодом равным 2пи.
4) Функция четная cos(x)=cos(-x).
Какие же преобразования я провела с этой функцией:
1) Я взяла ее по модулю. И у меня получились такие интересные кочки выше оси ОХ.
2) Переменную х я разделила на 2. И кочки получились шире в 2 раза. На такой кочке чучелу удобнее.
3) А весь модуль я умножила на 3. И кочки стали в 3 раза выше.
4) И наконец меня заинтересовала только одна точка – та, которая находится между пи и 3пи.
Вот собственно эта точка и изображена на рисунке и обозначена номером 1. А функция получилась такая:
y=3|cos(x/2)|
Это кочка, на которой стоит пугало.
Функции №2 и №10
Это две части одной и той же прямой. И как раз о таких прямых мы говорили с Вами, когда обсуждали мою будущую курсовую. Она параллельна оси ОУ, а значит она не может называться функцией, ведь одному значению х соответствует бесконечно много значений у. Поскольку это не функция, то и никаких свойств функции она не имеет, описывать нечего. Напишу только как выглядит уравнение этой прямой.
х=6
И интересуют нас только промежутки от 3 до 7 и от 15,5 до 16,5. Это соответственно палка, на которую насажено пугало, и его нос.
Функции №3, №5 и №11
Эти прямые тоже довольно просто записываются. Они все параллельны оси ОХ, а значит во всех случаях результат от х не зависит. Эти функции выглядят так
у=7 нас интересует та часть прямой, где х принадлежит промежутку [3;9]
у=15 на промежутке для х [4;7]
у=15,5 на промежутке для х [5,5;6,5]
или если написать классическое уравнение прямой
у-7=0
у-15=0
у-15,5=0
Поскольку в этих функциях отсутствует х, то нет и углового коэффициента, вернее он равен 0. Значит и угол наклона прямой равен 0. Впрочем, это и понятно – прямая же параллельна оси ОХ. Она просто смещена на соответствующее количество единиц вверх.
Нормальный вектор для всех этих прямых имеет координаты {0;1}, то есть совпадает с осью ОУ. А направляющие вектора для всех этих прямых тоже одинаковые и имеют координаты {-1;0} и {1;0}.
Функция №4
Это кусок параболы, хотя с первого взгляда вроде и не разберешь. Точнее сказать это часть ее левой ветви. Для начала вспомню все, что могу рассказать о параболе.
1) Область определения этой функции – вся числовая прямая.
2) А вот область значений - только неотрицательные числа.
3) Функция у нас четная, потому как х^2=(-х)^2.
Я не стала сильно колдовать с этой функцией, но все же 2 заклинания к ней применить пришлось:
1) Я вычла из переменной до возведения ее в квадрат число 2. При этом весь график сместился вправо на 2.
2) Я прибавила к выражению, которое возвожу в квадрат, число 6. При этом график сместился вверх на 6.
В результате получилась такая функция
y=(x-2)^2+6
И меня интересует промежуток для х [3;5]
Функция №6
Это тоже прямая, но не такая простая, как те, которые я уже описывала. Для начала надо разобраться какое же такое уравнение может описать эту прямую. Я знаю, что отрезок этой прямой, который меня заинтересовал для рисунка, начинается в точке (7;15) и заканчивается в точке (9;7). А уравнение прямой выглядит так у=ах+b. И еще через 2 точки можно провести только одну прямую. Потому с помощью этих точек мы можем составить систему уравнений с двумя переменными – коэффициентами для уравнения нашей прямой.
7a+b=15
9a+b=7
Выразим b из первого уравнения, подставим во второе и решим его
b=15-7a
9a+15-7a=7
2a=-8
a=-4
b=15+7*4=43
И получаем такое уравнение прямой
у=-4х+43 на промежутке для х [7;9]
Но по сути это видоизмененная прямая у=х. Вот и посмотрим, что же мне пришлось сделать с прямой у=х, чтобы превратить ее в то, что мне нужно:
1) Я изменила угол наклона прямой. Угол получился тупой, причем тангенс этого угла равен -4.
2) А еще я сместила эту прямую на 43 вверх. Вот и получилось то, что получилось.
Что еще можно сказать по поводу этой прямой:
1) Можно записать уравнение прямой в отрезках. Для этого найдем точки пересечения прямой с осями.
При х=0 у=43
При у=0 х=10,75=43/4
И уравнение прямой в отрезках выглядит так
4х/43+у/43=1
2) Отсюда можно вывести классическое уравнение прямой. Умножим все на 43 и перенесем свободный член в левую часть и получим
4х+у-43=0
3) Нормальный вектор этой прямой имеет координаты {4;1}.
4) Направляющие вектора имеют координаты {-4;1} и {4;-1}.
Функция №7
Это окружность (да-да, я запомнила, что это не круг). Это не функция, потому что почти во всех точках кроме двух, одному значению х соответствует 2 значения у. Центр этой окружности находится в точке (6;16), а радиус равен 1. Потому уравнение окружности выглядит так
(х-6)^2+(y-16)^2=1
Функции №8 и №9
Они строятся по одному принципу, потому и говорить о них я расскажу вместе, хотя и приведу уравнение каждой из них. Мне нужно было построить 2 отдельные точки – глаза пугала. Ну не хотела я рисовать еще две маленькие окружности и писать их уравнения. Мы не ищем легких путей. И потому по вашему совету я решила найти те функции, которые будут существовать только в одной точке. И чтобы точка была та, которая нам нужна. Сложно? Да не очень на самом деле.
Это например корень четной степени из какой-либо функции, которая принимает только неположительные значения. А какая функция принимает только положительные значения? Да например у=х^2. А какая функция тогда принимает неположительные значения? Например у=-х^2.
Эта функция пересекает ось ОХ только в одной точке (0;0). Если же к х прибавить некую константу а, то функция будет пересекать ось ОХ в точке (а;0). Ветви этой параболы смотрят вниз, то есть почти вся она, кроме уже указанной точки не попадает в область определения функции у=корень(-(х+а)^2).
Остается только одна точка. Но нам ее еще и надо поднять на b единиц вверх. А для этого мы ко всему корню прибавим эту самую константу b. То есть каждая из наших точек описывается уравнением вида у=корень(-(х+а)^2)+b, где а и b – это –х и у координаты этой точки соответственно. Следовательно у меня получились такие функции
у=корень(-(х-6,5)^2)+16,5
у=корень(-(х-5,5)^2)+16,5
Вот такой получился рисунок. Все координаты точек пересечения я указала на графике. В большинстве своем они либо найдены графически, либо изначально предполагались именно такими. Специально я их не строила.
Оценка: 23 Дата сдачи работы: 28.02.2012 Дата проверки: 29.02.2012
Комментарий: Дольвиче, здравствуйте!
Работа Ваша показала, что Вы хорошо владеете функциями и этот модуль можно считать пройденным)
Подвела Вас немного парабола.
y(4)=(4-2)^2+6=10, а не 8.
Кстати, да, тогда бы она выглядела более гладкой.
Ну и ещё неверно указано множество значений для "носа".
Конечно, хотелось бы видеть более сложный рисунок, но для первого раза хорошо. Все приведённые функции разобраны грамотно.
Карта сайта (с) Чжоули
Последние изменения:
17.11.2015
