Ange 1 курс Вуза (Арцис) Магия функций и интегралов
Описание рисунка, состоящего из функций, или `Кто-кто в домике живет?`
Добрый день, профессор Чжоули!
Представляю Вашему вниманию курсовую работу по итогам первого модуля по магии функций и интегралов.
Курсовая работа
по магии функций и интегралов
студентки 1 курса ВУЗа, дом Арцис,
Ange
на тему
Описание рисунка, состоящего из функций, или "Кто-кто в домике живет?"
В стране функций вполне может быть такой вот… домик, полностью составленный из функций. Пускай в действительности он будет трехмерным, однако же для разбора в данной задаче будет использовать его двумерную проекцию.
На вид в домике есть множество функций, однако на практике не все так сложно, как кажется изначально. Будет рассматривать не все функции сразу, а небольшими блоками, одновременно отрисовывая их, чтобы не запутаться.
Описывать функции будет по следующим характеристикам:
Область определения:
Область значений:
Периодичность:
Четность/нечетность:
Асимптоты:
Возрастание/убывание:
Экстремумы:
Пересечения с осями:
Магия преобразования:
Несмотря на то, что нарисованные кусочки функций многими свойствами не обладают, мы все же рассматриваем характеристики функций в целом, так что описывать надо функции целиком. Непосредственное отношение к нашему рисунку будут иметь только характеристики областей определения и значений.
Кроме того, иногда у нас будут возникать не-функции, на них мы будем обращать отдельное внимание.
Блок 1: Что должно быть в домике в первую очередь? Стены, крыша…
1) И сразу нам попадается не-функция. Вертикальная прямая не является функцией и записывается уравнением в виде х=0.
Область определения: х=0
Область значений: ує[0;6]
Описывать ее как функцию не имеет смысла.
Магия преобразования: простейшая.
2) Сдвиг отрезка (1) на 6 единиц вправо. Вертикальная прямая не является функцией и записывается уравнение в виде х=6.
Область определения: х=6
Область значений: ує[0;6]
Описывать ее как функцию не имеет смысла.
Магия преобразования: перенос на 6 единиц вправо – x=0 -> x=6
3) Горизонтальная прямая функцией уже является: у=0 Область определения: хє[0;6]
Область значений: у=0
Периодичность: нет
Четность/нечетность: и четная, и нечетная одновременно)
Асимптоты: нет
Возрастание/убывание: нет, функция константа
Экстремумы: нет
Пересечения с осями: если х=0, то у=0; если у=0, то х – любое
Магия преобразования: простейшая
4) Горизонтальная прямая аналогичная функции (3): у=6 Область определения: хє[0;6]
Область значений: у=6
Периодичность: нет
Четность/нечетность: четная
Асимптоты: нет
Возрастание/убывание: нет, функция константа
Экстремумы: нет
Пересечения с осями: если х=0, то у=6
Магия преобразования: перенос на 6 единиц вверх – y=0 -> y=6
5) Прямая, идущая под углом 45 градусов: у=-6+х Область определения: хє[6;10]
Область значений: yє[0;4]
Периодичность: нет
Четность/нечетность: нет
Асимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастает при всех х
Экстремумы: нет
Пересечения с осями: если х=0, то у=-6; если у=0, то х=6
Магия преобразования: сдвиг прямой на 6 единиц вниз – у=х -> у=х-6
6) Аналогично (1) и (2) вертикальная прямая, не-функция. Записывается уравнением х=10.
Область определения: х=10
Область значений: ує[4;8,4134]
Описывать как функцию не имеет смысла.
Магия преобразования: сдвиг прямой на 10 единиц вправо – х=0 -> х=10
7) Прямая, идущая под углом 45 градусов вниз: у=12-х Область определения: хє[3; 6,5]
Область значений: yє[5,5; 9]
Периодичность: нет
Четность/нечетность: нет
Асимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает для всех х из области определения
Экстремумы: нет
Пересечения с осями: если х=0, то у=12; если у=0, то х=12
Магия преобразования: зеркальное преобразование с магией минуса и сдвиг вверх на 12 единиц – у=х -> y=-x -> y=-x+12
8) Аналогичная прямой (7), только сдвинутая еще выше: у=20-х Область определения: хє[7; 10,5]
Область значений: yє[9,5; 13]
Периодичность: нет
Четность/нечетность: нет
Асимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает для всех х из области определения
Экстремумы: нет
Пересечения с осями: если х=0, то у=20; если у=0, то х=20
Магия преобразования: зеркальное преобразование магией минуса и сдвиг вверх на 20 единиц – y=x -> y=-x -> y=-x+20
9) Прямая аналогичная прямой (5), только сдвинутая выше: у=6+х Область определения: хє[3;7]
Область значений: yє[9;13]
Периодичность: нет
Четность/нечетность: нет
Асимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастает на всей области определения
Экстремумы: нет
Пересечения с осями: если х=0, то у=6; если у=0, то х=-6
Магия преобразования: сдвиг прямой на 6 единиц вверх – y=x -> y=x+6
10) Строителю дома явно было грустно, и он решил вторую часть крыши сделать… оригинальной) Почему бы не в виде показательной функции, видимо, решил он.
Однако по внешнему виду несколько сложнее определить аналитический вид функции. Мы изначально знаем, что это некая показательная функция y=α^x+β. Причем эта функция проходит через точку (0;6), а значит можно сказать, что параметр β=5. Кроме того, она проходит через точку (3;9), значит, решив уравнение, мы сможем получить нужный параметр α.
9=α^3+5
α=1,5874
Функция имеет вид: у=1,5874^x+5.
Область определения: хє[-1; 3]
Область значений: yє[5, 62996; 9]
Периодичность: нет
Четность/нечетность: нет
Асимптоты: у=5 - горизонтальная
Возрастание/убывание: возрастает на всей области определения
Экстремумы: нет
Пересечения с осями: если х=0, то у=6
Магия преобразования: перенос функции вверх на 5 единиц – y=1,5874^x -> y=1,5874^x+5
C «базой» дома закончили, теперь переходим с более мелким деталям… И, наверное, более интересным, а то все прямые, да прямые…
Блок 2: Куда же дом без входной двери, окошек и черепичной крыши? :)
11) Логарифмическая функция вида у=log_2 (x-2,5) +3.
Область определения: хє(2,625; 4]
Область значений: yє[0;3,585]
Периодичность: нет
Четность/нечетность: нет
Асимптоты: х=2,5 - вертикальная
Возрастание/убывание: возрастает на всей области определения
Экстремумы: нет
Пересечения с осями: если у=0, то х=2,625
Магия преобразования: смещение вправо на 2,5 единица и сдвиг вверх на 3 единицы – y=log_2 (x) -> y=log_2 (x-2,5) -> y=log_2 (x-2,5) +3
12) Эта функция тоже логарифмическая, только тут еще чудеса благодаря магии минуса возникают… у=log_2 (-x+5,5)+3 Область определения: xє[4; 5,375]
Область значений: yє[0; 3,585]
Периодичность: нет
Четность/нечетность: нет
Асимптоты: х=5,5 - вертикальная
Возрастание/убывание: убывает на всей области определения
Экстремумы: нет
Пересечения с осями: если у=0, то х=5,375; если х=0, то у=5,459
Магия преобразования: отражение за счет магии минуса, сдвиг вправо на 5,5 единиц, сдвиг вверх на 3 единицы – y=log_2 (x) -> y=log_2 (-x) -> y=log_2 (-(x-5,5)) -> y=log_2 (-x+5,5) +3
13) Точка. Просто точка… Ну или дверная ручка, как угодно.
Координаты (3;1,5), описания не требует.
14) Кусочек параболы с ветвями, направленными вниз.
Чтобы определить аналитический вид функции, нам придется несколько напрячься. Функция направлена ветвями вниз, проходит через точку (3;7,75) (это вершина), а также через точки (2,5; 6,5) и (3,5; 6,5).
Значит в виде у=-(ax-b)^2+c соотношение b/a=3, а с=7,75.
Решим уравнение: 6,5=-(2,5a-3a)^2+7,75
a=2,236
Общий вид функции: y=-(2,236x-6.708)^2+7,75 <=> y=-4,9997x^2+29,998x-37,247 Область определения: xє[2,5;3,5]
Область значений: yє[6,5; 7,75]
Периодичность: нет
Четность/нечетность: нет
Асимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастает при х≤3; убывает при x≥3
Экстремумы: локальный максимум в х=3 (у(3)=7,75)
Пересечения с осями: если у=0, то x1=4,24498, x2=1,7549; если х=0, то у=-37,247
Магия преобразования: первичный график параболы отражается магией минуса, его ветви сужаются в 2,236 раз, график смещается на 3 единицы вправо и сдвигается на 7,75 единиц вверх.
15) Отрезок прямой y=6,5 Область определения: xє[2,5;3,5]
Область значений: y=6,5
Периодичность: нет
Четность/нечетность: четная
Асимптоты: нет
Возрастание/убывание: нет, функция константа
Экстремумы: нет
Пересечения с осями: если х=0, то у=6,5
Магия преобразования: сдвиг первичной функции на 6,5 единиц вверх – y=0 -> y=6,5
16) Интересная функция вида y=-|sin(сx+a)|+x+b
В нашем конкретном случае это у=-|sin(2*x-π/6)|+x+5 Область определения: xє[3,5; 7,7973]
Область значений: yє[8,07044; 12,2025]
Периодичность: нет (из-за того, что функция «идет вверх» благодаря x)
Четность/нечетность: нет
Асимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает при хє[π/6+πn/2; π/3+πn/2], где nєZ, возрастает при хє[π/3+πn/2; 2π/3+πn/2], где nєZ
Экстремумы: локальные максимумы в х=π/6+πn/2, где nєZ; локальные минимумы в π/3+πn/2, где nєZ
Пересечения с осями: если х=0, то у=4,5
Магия преобразования: функция синуса сначала меняет свой период, далее сдвигается на π/6 вправо, после чего «поднимается» наверх модулем и опускается вниз вся минусом; после этого она растягивается в диагональ прибавлением х и поднимается на 5 единиц вверх. у=sin(x) -> у=sin(2x) -> у=sin(2x-π/6) -> у=|sin(2x-π/6)| -> у=-|sin(2x-π/6)| -> у=-|sin(2x-π/6)|+x -> у=-|sin(2x-π/6)|+x+5
17) Функция аналогичная (16): у=-|sin(2x)|+x+3 Область определения: xє[4,5; 8,922]
Область значений: yє[7,4559; 11,07754]
Периодичность: нет (из-за того, что функция «идет вверх» благодаря x)
Четность/нечетность: нет
Асимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает при хє[πn/2; π/6+πn/2], где nєZ, возрастает при хє[π/6+πn/2; π/2+πn/2], где nєZ
Экстремумы: локальные максимумы в х= πn/2, где nєZ; локальные минимумы в π/6+πn/2, где nєZ
Пересечения с осями: если х=0, то у=3
Магия преобразования: функция синуса сначала сжимается, после чего «поднимается» наверх модулем и опускается вниз вся минусом; после этого она растягивается в диагональ прибавлением х и поднимается на 3 единицы вверх. у=sin(x) -> у=sin(2x) -> у=|sin(2x)| -> у=-|sin(2x)| -> у=-|sin(2x)|+x -> у=-|sin(2x)|+x+3
18) Функция аналогичная (16) и (17): у=-|sin(2x+π/6)|+x+0,5 Область определения: xє[5,5; 10,1919]
Область значений: yє[6,1824; 9,8081]
Периодичность: нет (из-за того, что функция «идет вверх» благодаря x)
Четность/нечетность: нет
Асимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает при хє[-π/6+πn/2; πn/2], где nєZ, возрастает при хє[πn/2; π/3+πn/2], где nєZ
Экстремумы: локальные максимумы в х=-π/6+πn/2, где nєZ; локальные минимумы в πn/2, где nєZ
Магия преобразования: функция синуса сначала сужается, потом сдвигается на π/6 влево, после чего «поднимается» наверх модулем и опускается вниз вся минусом; после этого она растягивается в диагональ прибавлением х и поднимается на 0,5 единиц вверх. у=sin(x) -> у=sin(2x) -> у=sin(2x+π/6) -> у=|sin(2x+π/6)| -> у=-|sin(2x+π/6)| -> у=-|sin(2x+π/6)|+x -> у=-|sin(2x+π/6)|+x+0,5
19) Функция аналогичная (16), (17) и (18): у=-|sin(2*x-π/6)|+x-1 Область определения: xє[6,5; 10,858]
Область значений: yє[5,2105; 9,1415]
Периодичность: нет (из-за того, что функция «идет вверх» благодаря x)
Четность/нечетность: нет
Асимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает при хє[π/6+πn/2; π/3+πn/2], где nєZ, возрастает при хє[π/3+πn/2; 2π/3+πn/2], где nєZ
Экстремумы: локальные максимумы в х=π/6+πn/2, где nєZ; локальные минимумы в π/3+πn/2, где nєZ
Пересечения с осями: если х=0, то у=-1,5
Магия преобразования: функция синуса сначала меняет свой период, далее сдвигается на π/6 вправо, после чего «поднимается» наверх модулем и опускается вниз вся минусом; после этого она растягивается в диагональ прибавлением х и снижается на 1 единицу вниз. у=sin(x) -> у=sin(2x) -> у=sin(2x-π/6) -> у=|sin(2x-π/6)| -> у=-|sin(2x-π/6)| -> у=-|sin(2x-π/6)|+x -> у=-|sin(2x-π/6)|+x-1
20) Функция вида y=e^(-(x-a)^2)+b+х. В нашем случае имеет место функция y=e^(-(x-8)^2)+x-3,5. Область определения: xє[6;10]
Область значений: yє[2,518; 6,518]
Периодичность: нет
Четность/нечетность: нет
Асимптоты: у=х-3,5 - наклонная
Возрастание/убывание: возрастает при всех х из области определения
Пересечения с осями: если х=0, у=-3,5; если у=0, то х=3,5
Магия преобразования: сдвиг на 8 единиц вправо, диагонализация и последующий сдвиг вниз на 3,5 единицы - y=e^(-x^2) -> y=e^(-(x-8)^2) -> y=e^(-(x-8)^2)+x -> y=e^(-(x-8)^2)+x-3,5.
21) Функция аналогичная (20): y=e^(-(x-8)^2)+x-4,5.
Область определения: xє[6;10]
Область значений: yє[1,518; 5,518]
Периодичность: нет
Четность/нечетность: нет
Асимптоты: у=х-4,5 - наклонная
Возрастание/убывание: возрастает при всех х из области определения
Пересечения с осями: если х=0, у=-4,5; если у=0, то х=4,5
Магия преобразования: сдвиг на 8 единиц вправо, диагонализация и последующий сдвиг вниз на 4,5 единицы - y=e^(-x^2) -> y=e^(-(x-8)^2) -> y=e^(-(x-8)^2)+x -> y=e^(-(x-8)^2)+x-4,5.
22) Функция верхней полуокружности c центром в точке (1,25; 4,25) и радиусом 0,75.
(у-4,25)^2+(x-1.25)^2=0,75^2 => y=sqr(0,75^2-(x-1,25)^2)+4,25 Область определения: xє[0,5;2]
Область значений: yє[4,25; 5]
Периодичность: нет
Четность/нечетность: нет
Асимптоты: нет
Возрастание/убывание: возрастает при 0,5≤х≤1,25; убывает при 1,25≤х≤2
Экстремумы: локальный максимум при х=1,25
Пересечения с осями: нет
Магия преобразования: сдвиг полуокружности с центром в начале координат на 1, 25 единиц вправо и 4,25 единиц вверх.
23) Функция нижней полуокружности c центром в точке (1,25; 4,25) и радиусом 0,75.
(у-4,25)^2+(x-1.25)^2=0,75^2 => y=-sqr(0,75^2-(x-1,25)^2)+4,25 Область определения: xє[0,5;2]
Область значений: yє[3,5; 4,25]
Периодичность: нет
Четность/нечетность: нет
Асимптоты: нет
Возрастание/убывание: убывает при 0,5≤х≤1,25; возрастает при 1,25≤х≤2
Экстремумы: локальный минимум при х=1,25
Пересечения с осями: нет
Магия преобразования: сдвиг полуокружности с центром в начале координат на 1, 25 единиц вправо и 4,25 единиц вверх.
… Иии, все. Домик построили, можно заселять =)
P.S. С функциями (16), (17), (18) и (19) существует небольшая проблема. Традиционно тригонометрические функции изображаются на графиках так, что π рассматривается как 3 см. Тем не менее погрешность в 14 мм на каждый сантиметр имеет место при подобном методе.
В данной работе графики были начерчены на основании традиционного приближения числа π к 3 см, тогда как координаты точек искались аналитически с использованием числа π в чистом виде (3,1415...). Таким образом, существует некоторая погрешность между графиком и аналитическим описанием функции. К сожалению, как избавиться от нее с наименьшими потерями, мне в голову не пришло.
Спасибо за внимание!
С уважением,
Ange,
Арцис, 1-ый курс ВУЗа
Оценка: 25 Дата сдачи работы: 20.05.2012 Дата проверки: 21.05.2012
Комментарий: Капитальная работа проведена! Молодец. Показали хорошее владение материалом. Для точки, кстати, тоже можно функцию написать. Если до второго модуля дойдёте, там рассматривается, как это можно сделать)
Карта сайта (с) Чжоули
Последние изменения:
17.11.2015
